標注——表征數學思維的重要方式

馮桂群

拉弗德教授認為，思維是一個“想象——物質”的混合體，不僅僅出現在大腦中，也通過并呈現為言語、身體、姿勢、符號和工具的協調。實際教學中我們發現：除了畫圖、列表、列式、表述等思維表征方式外，引導學生借助線條、符號或文字進行的“標注”活動，同樣是學生參與符號化過程和認知建構中不可或缺的一部分，同樣會對內隱數學思維活動的直觀可視化和具體流程化的表達起著舉足輕重的作用，同樣可以使學生的思維從內隱到外顯、從無形到有形、由模糊到清晰、由局部到整體、從無序到有序、從有意識加工到自動化加工，從而優化學習過程、提高學習效率，發展學生的心智技能，增強解決問題的策略意識和實踐能力，提升數學理解力和思考力。下面就以蘇教版二年級下冊的數學教學為例，談談這方面的教學實踐，以期拋磚引玉。

一、 計算中“標注”的妙用

只會計算，不理解算理，不懂實際意義和應用，不可能培養學生的創造性。實踐證明：借助標注可以促進算理的明晰、算法的鞏固，實現算與思的結合、操作與思辨的聯手，使學生在標注“計算思路”中磨礪思維、生成智慧。

如：本冊第六單元中的退位減法，尤其是被減數中間或末尾有0的退位減法，是筆算中的一大難點，出錯率非常高。出錯的原因主要是：當被減數的某一位或某幾位出現了不夠減的情況而向前一位借一作十后，原數每一數位上的數值都可能會發生變化，如果對這一變化情況沒有清晰的認識，接下來的減法計算必然會出錯。為此，我在教學時不僅要求學生要標出退位點，還要在被減數的每個數位上方標出退位后的數值情況。如學生在計算1000-537時，引導學生表述退位思路：個位上不夠減向十位借，十位上沒有向百位借，百位上沒有向千位借，千位退一剩0，百位退一剩9，十位退一剩9，個位上是10，相應的標注如下：

在批改學生作業時，我注意到一個有趣的現象：解答較難的計算題，學生將計算思路標注出來了，結果就做對了，沒有標注的，結果竟錯了。由此可見，標注出被減數退位后的數值變化情況是多么重要。在學習之初、難題面前和出錯之后，標注無疑是學生厘清計算思路的重要“拐杖”。

再如教學第八單元的乘法第一課時“整十數乘一位數的口算”和“兩位數乘一位數”的筆算，起先筆者認為對學生來說，口算應該很容易，所以教學口算時就有些操之過急，沒有強調口算的算理，結果全班有近20%的學生在完成“想想做做”中的“比一比、算一算”（如：4×3，40×3）時出錯，如：40×3=123，5×60=115。這些學生對大家已悟出來的口算算法（先念乘法口訣再在算出的積末尾添一個0）視若罔聞。筆者快速調整了教學思路，要求學生完整地表述口算思路，如40×3：4個十乘3是12個十，即120，標注如下：

而在第二課時教學口算32×3時，當學生說出可以念兩句口訣（三三得九和二三得六）求出積是96時，我順勢追問：這里的9表示9個什么？6呢？同時引導學生標注口算思路。如下圖：

這樣標注不僅明晰了算理，強化了算法，培養了學生的邏輯思維能力和符號表征能力，還滲透了數學建模的思想，為學生的后繼學習注入了活力。比如：借助40×3的標注思路，學生會自然而然地建構出400×3的算理與算法。而32乘3的口算思路不僅與對應的筆算思路相呼應，還蘊含了“乘、乘、加”的計算模型，為今后學習形如32×13的筆算乘法（32×10=320，32×3=96，320+96=416）做了數學模型方面的滲透，進而使學生所學的知識連線成網，生成富有生長性、結構性、系統性的認知大廈和智慧寶藏。

二、 分析“關系句”時“標注”的妙用

兩個數量相比較，可以描述成“相差”關系，也可以描述成“倍數”關系，比字句或倍字句就成了反映數量間關系的重要載體。通過對關系句的標注，可以一針見血地厘清數量結構與數量關系，找到解決相應問題的數學模型。

本冊書第四單元第二課時安排了“求比一個數多（少）幾的數是多少”的實際問題。這一內容一直是教學的一大難點。我通過“操作中建模，標注中用模”的策略，很好地突破了這一教學難點。先讓學生在同桌合作中邊比劃手勢邊說“比10多/少（ ）是（ ），算式是（ ）”，從而建立數學模型———求比幾多幾的數就是求大數，用加法；求比幾少幾的數就是求小數，用減法。然后將“比10多1是11”這句話變形為“11比10多1”，并引導學生用簡潔的方式標注出三個數量——大數、小數和相差數。

之后引導學生按“標注、判斷、列式”的步驟解決實際問題。比如在解答課本上35頁的第2題“舞蹈組有24人，合唱組比舞蹈組多14人，合唱組有多少人？”時，先讓學生標注比字句：

再判斷 “求合唱組有多少人？”就是求大數，所以用加法，列式：24+14=38（人）。當出現了“被比量”未知的比字句時，學生借助標注，同樣能輕松地搞定數量關系，從而正確地解決實際問題。如：

這里是求小數，用減法：652-35=617（棵）。這樣就不會出現“見多就加、見少就減”的低級錯誤，同時也進一步強化了數學模型的正確運用——求大數用加法、求差和小數用減法，潛移默化地滲透了數學建模的思想。

在讓學生解決本冊書第八單元的 “求一個數的幾倍是多少”的實際問題時，我同樣引導學生借助“標注倍字句”明確：誰是小數，誰是大數，把小數看作一份數，大數是這樣的幾份數，求一個數的幾倍是多少就是求幾個幾相加是多少，所以用加法或乘法。比如教學課本第77頁的例題“楊樹有5棵，柳樹的棵數是楊樹的3倍。柳樹有多少棵？”時在引導學生畫小棒表示出楊樹有5棵、柳樹有3個5棵之后，追問：什么樹的棵樹是小數，把它看作一份，柳樹棵數有這樣的幾份？是幾個幾棵？同時引導學生將“倍字句”中的數量關系標注出來：

所以求柳樹棵數列式為：5+5+5=15（棵），或用簡便算法5×3=15（棵）。通過標注，學生對“倍字句”中隱含的數量關系有了更為清晰的認識和更為理性的把握，避免了機械模仿式的淺層學習；幫助學生厘清了“差比”與“倍比”關系中求大數算法的異同點，溝通了知識間的內在聯系，培養了學生的理性思辨能力與符號表征能力，促進了知識的正向遷移、整體建構和自然生長。

三、 概念教學中“標注”的妙用

在數學概念的教學中，同樣要引導學生借助標注來更好地明晰概念的內涵與外延，提高對概念的深刻理解和靈活運用，從而促進數學概念的真正內化與建構。

二年級下冊第一單元的學習內容是“有余數除數”，理解“余數比除數小”并能靈活運用既是重點又是難點。比如有這樣的練習：（ ）÷4=6……（ ），余數有（ ）種可能，最大是（ ），被除數最大是（ ）。這是要求學生運用“余數與除數的大小關系”來推想出完整的除法算式。有部分學生竟將最大余數寫成了5，顯然是將余數跟商比起來了，而事實上應該將余數與除數比。于是筆者引導學生借助“孫悟空給師徒四人分桃的故事”，啟發學生思考：除數是4，就是將桃平均分成4份，如果還剩余5個桃，那每人還可以分得一個桃。只有剩的桃比4少，每人不可以再分得一個，才是剩下的，只能是1、2、3這3種可能。所以余數的大小只跟除數有關，跟商沒有絲毫關系。為了將流動的思路定格并強化，我引導學生邊表述邊進行了以下的標注：

使學生借助畫弧線、寫大于號和寫余數，明確思考的依據與流程，使思維由模糊、無形、隨性變為清晰、有形、理性。

教學本冊書第二單元認數中“千以內數的寫法”，我引導學生按“一圈二畫三寫”的步驟來完成。如：學生在練習第16頁的第6題“寫出橫線上的數”時，我要求學生先圈出每個數中的計數單位，并根據最大的計數單位確定是幾位數，是幾位數就畫幾根短線來定位，最后再對號入座，幾百的幾在百位上，幾十的幾在十位上，幾寫在個位上。具體過程如下：

通過圈單位、畫線定位和對號入座，學生對數位、計數單位、數位與計數單位的對應關系、最高數位與幾位數的關聯等知識的理解更清晰、更深刻。

本冊書第五單元“認識方向”是教學的一大難點，最新的蘇教版教材已將這部分內容后移到三年級。教學中，我引導學生通過標注來明確觀察的中心點和幾個主方向，從而幫助學生正確、靈活地運用方向概念來解決實際問題，提高實踐能力和解題水平。如：完成下面的填空題，我引導學生按“一畫二標三寫”的步驟來完成。首先是讀懂填空題，明確是以誰為觀察的中心點，題目中講“誰的哪一面”，誰就是觀察的中心點，并將句中的中心點用線畫出來；接著在平面圖中標注出中心點的幾個主要方向（與書城方位關系密切的）；最后就能準確而輕松地完成填空題——書城在金色商場的西北面。

在標注過程中，中心點、圖上主方向、方向的相對性等概念得到了進一步的強化，同時也訓練了學生的有序思維，增強了答題的策略意識和自我調控能力。

總之，標注是表征數學思維過程的重要方式。借助巧妙的符號標注，不僅使數學學習變得易如反掌、輕松有趣，還培養了學生的符號意識與策略意識，提高了元認知水平，增強了學生的理解力與思考力，滲透了建模思想，使學生成為能思、善思、會思的學習主人，很好地落實了知識技能、過程方法和情感態度價值觀等三維目標，為學生的后繼發展注入了無窮的活力。