對數學思維深刻性培養的探索

許麗金

在數學教與學的過程中，思維深刻性是一切思維品質的基礎，是數學思維品質重要的核心內容.作為數學教師，我們應當把對學生思維深刻性的培養作為培養其思維品質的立足點和突破口.下面筆者就培養學生數學思維深刻性作些探討.

一、提煉數學思想方法，培養思維深刻性

數學知識發生的過程也是其思想方法產生的過程.在此過程中要向學生提供豐富的、典型的直觀背景材料，讓學生的思維和經驗全部投入其中，并在此過程領會如數感、符號感、空間觀念等數學思想方法.例如，在《探索勾股定理》中，筆者將概念、結論性知識的教學設計成再發現、再創造的教學.先讓學生用計算面積的方法理解勾股定理，再用拼圖的方法驗證，讓學生經歷觀察、歸納、猜想和驗證的發現過程，使學生在動腦、動手的過程中提煉數學思想方法，即將三角形三邊的平方與正方形面積聯系起來，再比較同一正方形面積的幾種不同的代數表示，得到勾股定理.我們要引導學生積極探索、分析和概括，從而提煉數學思想方法.

二、注重一題多變，培養思維深刻性

如果說數學是“思維的舞蹈”，那么變式教學就是培養“舞蹈演員”的搖籃.因此在教學過程中，我們應采取靈活多變的教學方式，使學生在思維上始終保持在高度的興奮狀態，從而提高學生思維的深刻性.例如，已知：在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠A+∠C=180 °.

本題可以從條件“BD平分∠ABC”，引導學生從兩個方面去思考：一是根據翻折構造全等三角形；二是根據角平分線性質定理構造全等三角形.于是有如下方法：

（1）在BC上截取BM=BA（即“截長”），聯結MD，可證△ABD≌△MBD，得AD=MD，于是MD=DC再證角相等最后推出結論.

（2）延長BA至N，使BN=BC（即“補短”），聯結ND，可證△NBD≌△CBD 得DC=DN，于是AD=DN再證角相等最后推出結論.

（3）過點D作BA、BC的垂線段DG和DH，然后證Rt△ADG≌Rt△CDH，得∠GAD=∠C，于是可推出∠A+∠C=180°.

接著，我又將本題作了變式訓練.變式1：如果將條件中的“BD平分∠ABC”改為結論，同時將原來的結論“∠A+∠C=180° ”改為條件之一，其余條件不變.那么所得新命題還是真命題嗎？為什么？變式2：將條件中的“AD=DC” 改為結論，將原來的結論“∠A+∠C=180° ”改為條件之一，其余條件不變.那么，所得新命題還是真命題嗎？為什么？學生們開始探討，有的學生沿用了剛才的思路，采用“截長補短”，但行不通，于是我順勢點撥，使學生知道是因為缺了“BD平分∠ABC”這一條件，就不能通過翻折構造全等三角形.而應通過角的關系，對于變式1：可過點D作BA、BC的垂線段構造全等三角形，證得該命題是真命題；對于變式2：利用上面的三種方法都可證明其是真命題.

三、尋找一題多解，培養思維深刻性

解完一道練習題后，要引導學生多方向分析，多角度審視，探索多種解法.通過縱橫分析解題思想方法，培養思維深刻性.例如，已知直線AB∥CD ，直線L 分別截直線AB、CD于E、F兩點.并且∠1=180 °，求：∠2 的度數.

分析：（1）所求角∠2 與已知角∠1 之間有什么聯系？（2）已知直線AB∥CD，能幫我們帶來哪些結論？（3）怎樣把求∠2 的過程用幾何語言表達出來？（學生分組討論、合作學習）

解法1：通過∠1的內錯角與∠2聯系起來；解法2：通過∠1的同位角與∠2聯系起來；解法3：通過∠1的同旁內角與∠2聯系起來.這樣，通過一題多解，既復習了平行線的特征應用，又使得學生在合作學習中，合作討論中自主地完成對知識的構建；學生不僅對知識點的理解深刻，而且“創造”著解題過程的方法，體驗著獲取、鞏固知識的喜悅.使學生在學習中真正的動起來，達到培養提高思維深刻性的目的.

四、挖掘隱含條件，培養思維深刻性

【例】：關于x的方程（k-2） -2x+1=0有解，求k的取值范圍.（許多學生這樣解：由題意得Δ≥0且k-2≠0，得k≤3且k≠2.）

引導學生剖析，當k=2時方程有解為x= ，解答有誤，問題出在哪里？因為由于題目中對方程的次數沒有任何限定，所以，不能盲目地認定此方程一定是一元二次方程，而應當全面地考慮問題，當k-2=0時，即k=2時，方程可以化為一元一次方程-2x+1=0，得x= ，因此k=2也符合題意，本題的正確答案是k≤3.有些學生解題時，往往抓不住問題的實質，挖掘不出問題中的某些隱含條件，思維處于較淺層次.教師在引導學生思考時，應注重問題本質的分析，挖掘隱含條件，揭露問題的實質，培養思維的深刻性.

（責任編輯 黃桂堅）