試卷講評的一種嘗試

豆浩

數學試卷講評課是高中數學教學的重要課型，特別對于高三，更是常規課.那么，對于一份試卷在一兩節課上講評，如何收到最好的效果？多數數學試卷講評課都側重于教師的“講”與“評”，而忽視學生的“感”與“悟”，其效果甚微.有一種現象：一些考過、講過、訂正過的試題，下次遇到還會錯.原因何在？筆者認為學生是考試真正的參與者和體驗者.試卷講評應從“教師的積極講評”轉移到“學生的主動參與上”.試卷講評應以學生為主體，教師為引導，想方設法把試卷中的問題巧妙地擺出來，讓學生通過獨立的思考與討論，彼此的交流與合作，從而獲得真正的理解.這樣印象才更深刻，記憶更久遠，效果更全面遠勝于教師獨自講評的千言萬語.下面談談筆者試卷講評的一點嘗試.

一、展示錯誤，尋求錯因

糾錯是試卷講評的重要版塊，每個教師都很重視，筆者認為教師不能僅僅講評正確答案的由來，津津樂道，有條有理，學生積極配合，看似聽懂，實質還是不會.原因是學生跟著教師的思路聽而自己根本沒有獨立思考，也沒有發現自己錯在什么地方，所以遇到類似的問題還會重犯.我們應尋求學生錯誤的源頭，采用恰當的方法讓學生充分暴露自己的錯誤，進而讓他們在相互之間的思維碰撞與互相交流中自然釋疑糾錯，糾偏歸真歸正.

【案例1】：已知函數f（x）=2x+1，x≥01，x<0，則滿足不等式f（1- ）>f（2x）的取值范圍 .

這是模擬試卷中的一道題，錯誤率很高.有部分同學出現“0≤x< -1”的錯誤答案，原因何在？怎樣才能發現學生錯誤的根源，并認識自己的錯因呢？于是，我叫了幾位成績較好的同學回答解題的過程.

學生1：先畫出函數草圖（圖1），由圖知，當x≥0時，f（x）單調遞增，所以要使f（1- ）>f（2x）成立，必須1- >2x≥0，解得0≤x< -1.

學生2：分段討論，當x≥0時，1- >2x≥0解得0≤x< -1；當x<0時，f（x）=1，則f（1- ）>f（2x）不成立.綜上得0≤x< -1.

看到了兩個同學用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同學喜笑顏開，但是教室里出現更多的是不敢茍同的聲音，課堂氣氛立刻熱烈起來，在大家的共同討論下，終于找到了癥結所在.原來學生1忽略了2x還可以小于零的情況；而學生2只按照分段函數的兩段討論，忽視了兩個數分別位居不同兩段的情況，還可以有 1- ≥02x<0.同時發現，本題雖是“分段函數”但無需討論求解，直接由1- >01- >2x得出正確答案-1

通過展示錯誤的方式，全體學生共同參與，互動交流，通力合作，歸根究底，糾偏歸正，這樣得出的結果學生還會忘嗎？這是教師獨自講評無法比擬的，其收獲的不僅僅是知識，更培養了學生自我探究、合作交流的學習精神.

二、優化解法，提高速度

糾錯是首選之舉，那么對于試卷中的對題就置之不理嗎？他們就對的那么一致嗎？特別是對于選擇題和填空題，我們能否做到在單位時間內達到“對而快，快而準”呢？

【案例2】：集合A=x│ <0，B={x│x>1} ，則A∩B=（ ）.

A.{x│-13}

C.{x│-2≤x≤-1} D.{x│1

有關集合內容的小題在各種考試中排在第一或第二題的位置，屬于容易題，正確率幾乎每次都是100%，幾乎沒講過，但一次考試中偶然發現，學生大多這樣解.

解法1：由 <0得-2

上述解法中規中矩，無可挑剔.

試卷講評時，筆者問這道題的考點是什么，學生說是分式不等式的解法和集合的運算兩個考點，其他學生也不否認.

能不能有其他更好的方法？20秒內能否做出來？

另一名學生立即明白，得出解法2.

解法2：因為A∩B是B的子集，所以A∩B的范圍比B的范圍小.所以選D.

【案例3】：已知α，β均為銳角，cos（α-β）=sin（α-β），則tan α=（ ）.

一個學生是這樣解的：

由得cos（α+β）=sin（α-β）得cos α cos β-sin α sin β=sin α cos β-cos α sin β，

整理，得cos α（cos β+sin β）=sin α（sinβ+cos β），

由α，β均為銳角，可知sin β+cos β≠0，所以cos α=sin α，tan α=1.

學生的解答的確是天衣無縫，滴水不漏，其“誓將運算進行到底”的堅毅精神，令人贊嘆不已！但似乎有些小題大做.這時傳來了抗議之聲：

另一名學生這樣解：

因為cos（ -α）=sin α，只要滿足x+x′=2kл+ ，就有 cosx=sinx′，又α，β為銳角，所以，只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，tan α=1.

看來，我們在做題時特別是選擇填空題我們不僅要的是正確答案，也要的是速度.要學會“先思題，再做題”，要學會“少點算，多點想”.不該算的就不算，該算的也要學會巧算、簡算、估算.為高考中的解答題贏取更多的時間.有了這樣的認識，發現同學們長進了不少.

【案例4】：函數y= 的最 大值與最小值和為（ ）.

發現此題利用求導無法做出來，立即用函數性質解題，因為函數y= 為奇函數，所以最大值與最小值和為0.

三、發散提升，還原本質

人們常說“萬變不離其宗”，那么對于數學解題也是一樣，我們只要認清它的“本真面目”，那么數學解題就顯得那么的輕松自如，順其自然.

【案例5】：（2011年高考數學浙江卷文科16題）若x，y滿足 + +xy=1，則x+y的最大值是（ ）.

本題的考點是均值不等式和學生的靈活應用能力.相應的解析為：

解法1：由 + +xy=1得（x+y） =1+xy，

（x+y） =1+xy≤1+ ，解得- ≤x+y≤ ，

所以x+y的最大值是 .

這是一道填空題，多數人認為這樣的解法就夠了，我們不妨嘗試用其他方法來解，會發現有異曲同工之妙.

解法2：設x+y=t，則y=t-x將其代入 + +xy=1中，得 +（t-x） +（t-x）=1，即 -tx+ -1=0.

因為關于x的方程有實數解，故Δ=（-t） -4×（t -1）≥0

解得- ≤x+y≤ ，

所以x+y的最大值是 .

解法3：設x+y=t，則y=t-x將其代入 + +xy=1中，得 +（t-x） +（t-x）=1，即 -tx+ -1=0，

用“直線與橢圓相切的條件”有Δ=（-t） -4×1×（t -1）=0

解得t= ，

所以x+y的最大值是 .

解法4：由x，y滿足 + +xy=1知，x，y既可同號，又可異號，因為求x+y的最大值，故x，y同正，此時，想到余弦定理有 + -2xycos120 °=1構造三角形，再由正弦定理得 = = ，

從而x+y= sin α+ sin（60° -α）

= sin（α+60° ）

當α=30 °時，x+y的最大值是 .

解法5：令x+y=t則y=t-x原問題化為：已知3 + =1，求2a的最大值.

由3 + =1得3 =1- ≤1，即， ≤ 所以a≤ .從而2a的最大值為 .

當然此題還可用柯西不等式、向量等方法進行求解.

在平時的試卷講評中，教師往往不做這樣的引導與闡述，總是講這種方法，那種套路，還有何種技巧.如果試卷講評時，教師切合試題經常性地給學生還原試題的真面目，一題多解，從不同的解題方法，拓寬學生視野，并認識各種方法優劣，那么數學解題就是一種全面的思維升華，一種美好享受的過程.

試卷講評是一種藝術，我們只是行走在探索追求的路上.“展示錯誤，尋求錯因”“優化解法，提高速度”“發散提升，還原本質”只是筆者自己對試卷講評的一種嘗試，望盡我的一些微薄之力，能給這藝術之路增添一點光彩.

（責任編輯 黃桂堅）