一道錯解概率題的剖析及釋因

朱日華

1 機(jī)緣巧遇

一位同行在網(wǎng)上向筆者詢問《2011年長沙市高考模擬試卷（理科）數(shù)學(xué)（I卷）》第18題第（Ⅱ）問的解答是否合理，因此引發(fā)了筆者的一些思考.為了陳述方便，先將原文呈現(xiàn)這一試題.

為此，筆者提供了一個鑒別的辦法：分別去計算各個積分的概率，如果和不等于1，一定是解法出問題了.由于分類眾多，一時難以計算，也就擱置下來.

2 思緒困繞

此題雖然擱置下來，但困惑一直纏繞心頭：此題解答真的有問題么？作為一個大市級高考模擬測試試題，影響力大，流傳面廣，難道沒有教師能夠發(fā)現(xiàn)其中的問題？

5 優(yōu)化提升

但這樣一來，作為試題，計算成為學(xué)生不應(yīng)承受之繁.如何來優(yōu)化條件，使結(jié)果的計算變得簡便可行？回顧解題過程，計算繁雜的原因在于6類“A，B處分別投籃次數(shù)”事件發(fā)生的概率各不相同，與其它數(shù)據(jù)相結(jié)合，稍顯難算，如果這6類事件的發(fā)生的概率等同，計算復(fù)雜程度則明顯下降.以這樣的目標(biāo)來改造題設(shè)中的條件，可將題目中的條件“投籃點自由選擇，共投籃5次”置換為“共投籃5次，先在A處隨機(jī)選擇投籃次數(shù)，剩余次數(shù)再在B處投籃，可以只在其中一處投籃”.

6 以思為鑒

原題的解答由于種種原因產(chǎn)生了不應(yīng)出現(xiàn)的錯誤，產(chǎn)生錯誤的根源是什么？作為命題者在創(chuàng)設(shè)新題時如何來避免這類錯誤？

首先，防止思維上的疏忽導(dǎo)致思考問題的不全面.排列組合、概率類型的問題往往容易產(chǎn)生似是而非的想法，從而產(chǎn)生貌似正確的解法，這類錯誤一旦產(chǎn)生，由于隱蔽性強(qiáng)，加上思維認(rèn)知有慣性，就難以從思路分析上去糾正.

其次，這類錯誤可以從計算層面來發(fā)現(xiàn)和排除.排列組合、概率類型的問題只要根據(jù)解題思路進(jìn)行細(xì)分，借助于相關(guān)性質(zhì)，總可以由計算結(jié)果的不合理來發(fā)現(xiàn)在思路中存在的疏漏.但由于本題投籃次數(shù)較多，導(dǎo)致產(chǎn)生的積分情況有15種，不同的互斥事件有56個，情況復(fù)雜，計算麻煩，在有限的命題時間里有意無意忽略了此驗證步驟，從而錯過發(fā)現(xiàn)錯誤的機(jī)會，其實可以通過減少投籃次數(shù)（如2次）來計算所有互斥事件的概率之和，驗證解題的思路，是可以避免這個錯誤的.

最后，命題小組成員彼此的獨立思考、相互驗證也顯得非常重要.