一道函數試題的析題展示

王建鵬

“析題”是近年來新興的一項教研活動.去年，筆者有幸參加了福建省第二屆中小學教師教學技能大賽，其中中學數學的學科技能環節的比賽項目就是解題析題.

“析題”不同于以往的“說題”，是指執教者在精心做題的基礎上，立足學生的角度，闡述在題目解答時所采用的思維方式、解題策略及依據，進而總結出經驗性解題規律并進行拓展引申.析題的關鍵在“析”，內核在于“用題去教”，即通過對學情的預設，選擇題目做傳輸帶，刺激學生把原有的知識經驗作為新知識的生長點，進而形成新的知識經驗.其本質是通過對“好題”的深入淺出，落實學生學的“有效”，從而將教師的“教”、學生的“學”與研究“考試命題”三者有機結合.本文擬以2011年福州市高三質檢理科卷第20題為例進行析題，以期拋磚而引玉.

1展示題目

（2011年福州市高三質檢理科卷第20題）設函數f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=ax，F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅰ）若x =0是F（ x ）的極值點，求a的值；（Ⅱ）當a =1時，設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x軸，求P，Q兩點間的最短距離；

（Ⅲ）若x≥0時，函數y=F（ x ）的圖象恒在y=F（？x）的圖象上方，求實數a的取值范圍.

2 試題評價

2.1 考試評價功能

本題主要考查函數的單調性與最值、函數的圖象與零點、導數的綜合應用等基礎知識，并以這些基礎知識為載體，考查學生的抽象概括能力、推理論證能力與運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想.試題凸顯對函數與導數學科本質的考查，并通過與三角函數知識的交匯，來實現對學生綜合運用學科知識分析問題和解決問題的能力的考查.試題的主要亮點有（1）很好地實現函數、導數與三角函數知識模塊的自然交匯， 問題的設置注重幾何描述，強調數形結合；（2）問題設置脈絡清晰，層次分明，有效地在問題的求解過程中實現對數學思想方法和學科本質的考查.

2.2 教學導向功能

本題的設計切合《課程標準》的基本理念，很好地體現了高中數學立足基礎、關注過程、突出思想、把握本質等教與學的導向.重視對學生運用數學語言進行思維和交流的能力的培養，有效引導數學教學由結果教育向過程教育的轉變.

3 教學意圖

3.1 課堂情景

本題擬作為高三第一輪函數與導數模塊復習課的例題.

3.2 學情預設

通過之前的作業和課堂表現，結合平時對學生的觀察、了解學生的現有發展區基本特征為：

（1）學生已學習了運用導數解決以三次函數、指數函數、對數函數為背景的單調性與最值問題的基本方法，已有一定的通過構造函數與求導的方法解決不等式含參問題的基礎，能較熟練地通過對二次函數圖象性質的分析來處理求導問題.

（2）本題的研究對象以指數函數、三角函數為載體，情境較新，學生比較陌生.求導完難以轉化成以二次函數為背景的圖象性質來分析，需要通過多次的構造函數與求導來處理，對學生的抽象概括能力要求較高.這對學生而言存在相當大的挑戰，但對導數的本質理解卻至關重要.

3.3 教學目標

基于課程標準的要求、學生情況的實際、遵循教學目標的“三維”理念，確定教學目標為：經歷“多次構造函數與求導”的過程，理解每次構造函數與求導的思維成因及意義，提高運用導數工具探究函數的單調性與最值問題的能力，進一步理清解決函數、方程與不等式綜合問題的一般規律.

4 教學流程

以波利亞的“怎樣解題表”為指導展示析題過程

4.1 弄清題意

4.4 回顧反思

本道試題以指數函數、三角函數為載體，通過多次的構造函數與求導，考查學生全面運用導數工具探究函數的單調性與最值問題的能力.之前學生對于通過對二次函數圖象性質的分析來處理求導問題比較熟練，而對于需要多次求導的問題則顯得很不適應.本道試題的價值在于，能較好地切中學生原有的知識經驗，打破學生的思維定勢，貼近學生的“最近發展區”.刺激學生把原有的知識經驗作為新知識的生長點，形成新的知識經驗，進而體會研究導數的應用不應只是掌握具體的方法，更要關注對導數本質的理解.

基于上述反思，結合“用題去教”的理念，對試題的第（Ⅱ）問進行拓展延伸.

變式1 （Ⅱ）當a =1時，設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /y軸，求P，Q兩點間的最短距離；

變式2 （Ⅱ）當a =1時，設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），求P，Q兩點間的最短距離；

變式3 （Ⅱ）設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），且PQ/ /x軸，若P，Q兩點間的最短距離為1，求a的取值范圍；

構造函數h（ x ）=ex+sinx？ax，

觀察h（ x ）=ex+cosx？a和h（ x ）=ex？sinx，

由h（ x ）≥0推出h（ x ）在[0， +∞）單調遞增結合h（0）=2？a.不難觀察，當2？a≥0時推出h（ x ）在[0， +∞）單調遞增，可得最小值為h（0）=1，可類比第（Ⅲ）問思路.

進一步觀察h（ x ）=ex？sinx，聯想到選修2？ 2第一章習題1.3的B組第一題的在[0， +∞）上ex≥x+1與sin x≤x的結論，考慮進一步縮小范圍，令h（ x ） = ex？sinx？1，發現h（ x ）≥0在[0， +∞）仍然成立，考慮令h（ x ）=ex+cosx？x？m，從h（ x ）在[0， +∞）單調遞增結合h（0）=2？m出發，不但可以把條件改為二次函數g（ x ）=12x2+mx，同樣可類比第（Ⅲ）問思路處理.

變式4 函數f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=12x2+mx，

F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅱ）P（ x1，f（ x1 ））， Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x軸， 若P，Q兩點間的最短距離為1，求m的取值范圍；

從2012年各省的高考試題來分析，不難看出上述理念在命題思路上得到較好的體現.譬如：12年福建省理科20題，12年山東省理科22題，12年全國大綱理科20題，12年全國新課標文科21題等等.

總之，任何一道數學題，都有它的背景及考查知識和方法的側重點.

因此，養成對典型例題進行反思的習慣是極為重要的，例如：如何弄清題設與結論之間的內在聯系，較快地找到解題的突破口？解題所用的方法是否合理簡捷，有沒有更好的解法？解題過程是否正確無誤，表述是否符合邏輯？解題所用的方法、技能有沒有廣泛應用的價值？如果適當改變題目的條件或結論，問題將會出現什么變化？有什么規律？等等.這樣做就能使我們領悟蘊含在問題的提出、完善和深化的全過程、貫穿在分析問題和解決問題的過程中的數學思想方法，提高綜合運用知識的能力.

參考文獻[1]羅增儒.數學解題學引論.西安：陜西師范大學出版社，2004