“三次函數零點判別探究”的教學實錄和感想

胡勇

1 探究背景

高三數學總復習的導數復習課后，有學生提出：二次函數有根的判別式，那么三次函數的根的個數能否由系數進行判別呢？對此，筆者沒有立即給出答案，而是思索如何利用這個問題發動學生去自主探究，通過探究使學生熟練運用導數工具解決函數問題，讓學生領悟數形結合、轉化與化歸、猜想和歸納等數學思想，引導學生積極參與到知識的發生發展過程中去，體驗知識獲取的艱辛和愉悅.

在組織學生探究之前，筆者對這個問題先行進行了探究.首先，三次函數的一般形式f（ x ）=ax3+ bx2+cx+d（ a≠0）中含有四個參數，直接探究其零點判定，對學生來說難度較大.聯想到三次函數經過平移和伸縮變換后總可以化成下列形式：f（ x ）=x3+px+q.在不完全的三次函數形式里，參數減少為兩個，探究的難度就大大減少了.反之，若不完全形式的三次函數零點問題解決了，一般形式的三次函數就可以先轉化成不完全形式，然后再利用已有結論進行判別.

針對以上的思考，筆者設計了層層遞進的疑問，每一步使學生能夠做到“跳一跳，夠得到”，一步步逼近結論.并且對某些公式和定理進行認真的推導，對學生的現實和數學現實中有哪些與本質類似或有聯系等問題進行慎密的思考，對探究過程中學生可能出現的即時生成問題，準備好引領辦法，這樣才能做到胸有成竹，避免浪費寶貴的教學時間.下面是課堂實錄.

2 探究實錄

2.1 情境創設，引入課題

問題1 已知函數（ ）31f xxax=？+有三個零點，求a的取值范圍.

設計意圖 從典型的例習題聯想提出新問題，從熟悉的問題而想到尚待解決的問題，從特殊的背景猜想得到一般性的結論并加以證明，這樣設計可以激發學生的學習興趣和求知欲望，提高學生的猜想和歸納能力.

（投影生1的解答過程）

3 教學體會

3.1 教師應先行考慮問題是否有探究的必要

“以學生為主體”的教育觀念要求教學過程要在探究活動中展開，也就是說，概念、公式、定理等的數學都要體現數學化的教學思想，要揭示數學的形成過程.什么問題可以讓學生自主探究，什么問題不適合在課堂探究，根據學生的“最近發展區”如何設置探究的難度和過程，探究過程中學生可能會遇到哪些思維障礙如何啟發學生解決問題，等等.這些都需要教師在組織學生探究之前應該先行探究，并解決以下兩個問題：有沒有探究的必要？如何確定探究的起點和探究的方式？對于那些抽象度較低、無任何知識背景的工具性知識或學生容易理解其產生或形成過程的概念或數學結論，采用接受性學習比較經濟和理想.對于那些本身具有較強的經驗性、演繹性或對象性的數學知識，教學中從學生日常經驗或教材出發，開展數學探究性學習則是必要的.探究的起點不宜太高，應選用學生比較熟悉的背景作為切入點.將學生的興趣和注意力引導到探究的問題中去后，探究過程應是探究課的重點所在，采用自主探索與合作交流相結合的方式為好.但要保證足夠的時間和空間讓學生經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程.

3.2 探究時教師要充分發動學生的積極性

蘇霍姆林斯基說過：“學生要想牢固地掌握數學，就必須用內心創造與體驗的方法來學習數學”.因此，引導學生在體驗中學習，在體驗中自主探究、自主發展是學好數學的關鍵.在學習過程中，教師通過指導、創設情境，提供信息資料、工具和情感交流等多種途徑使學生在不斷的“體驗”中獲得知識，發展能力.要給學生獨立思考的時間和空間，充分用好學生的口、手和思維，讓學生敢說、敢做、敢于發現問題、敢于發表見解，最大限度地讓學生在體驗中學習，在合作中提高，在主動中發展.只有這樣學生才能真正體會和感受知識的生長過程與創作，體驗其中蘊含的發現，有助于加深對概念的理解，搞清概念的內涵特征，從而提高課堂教學的有效性.

3.3 探究時教師要適時控制過程和難度

因為學生對中學數學知識之間的聯系和內在的數學思想認識還具有一定的局限性，對所探究的問題難度，教師要充分把握好，并能根據學生的心理特征和學情，為學生提供豐富的案例和背景材料，引導和幫助學生提出問題，讓取得數學結果的過程是一個具有坡度循序上升的探究過程.

教學調控是課堂教學活動的一個重要環節，也是確保教學探究活動順利進行的有效手段.要提高探究學習的有效性，要求教師能夠對學生探究過程進行有效調控.當學生集體遇到困難的時候，用直觀的教具、圖象或精辟的語言等做有針對性的啟發；當學生探究誤入歧途的時候，適當點撥一下探究的思路，把學生引向正確可行的方向；當學生探究的思路可行但繁瑣的時候，在充分肯定的前提下鼓勵學生另辟蹊徑，指出更好的方法.尊重學生，信任學生，以學生為主體，時刻關注學生的學習動態適時點撥，與學生密切合作，只有這樣才能充分調動學生學習的積極性、主動性，讓學生在經歷數學問題發現和解決的歷程中體驗成功的喜悅.

3.4 學生是探究的主體，教師是組織指導者合作交流者

探究的課堂體現為各種生態元素（因子）有機整合與協調運動，師生、同伴間互相激發、共同參與、合作交流、質疑探究，共同發展，持續發展，和諧發展.學生是發展的人，是學習的主體，他們有著很強的探索欲望.教師要注意角色定位的轉換，由傳統的知識傳授者轉向現代的學生發展的促進者.問題探究前先為學生提供適當的、有探究價值的背景和充分的信息，激發學生的探究熱情，讓學生根據所提供的信息自己設計解決思路和解決方案.在探究過程中，對學生中出現創新思維火花，要及時加以表揚，激發其奮勇直前.當學生遇到這樣那樣的挫折和失敗時，教師要鼓勵他們不要灰心，應該學會如何正確面對失敗，引導他們找出問題到底出在什么地方、如何避免、怎樣改進.這樣有利于學生逐漸揭示數學的本質，完善對數學概念、方法、思想的理解，使學生的自主性、獨立性、能動性和創造性得到真正的體現，有利于把學生培養成具有頑強意志和勇于接受挑戰精神的人，有利于創新人格的塑造.