數學思想方法在高中數學教學中的運用

李興江

摘 要： 數學思想方法教學是素質教育的重要組成部分。本文在論述了數學思想、數學方法及其相互關系的基礎上，探討了加強數學思想方法教學的意義，提出了在知識發生過程中滲透數學思想、在知識的總結過程中提煉數學思想、在問題解決過程中深化數學思想的教學策略。

關鍵詞： 數學思想 數學方法 高中數學教學

數學思想是數學知識的靈魂與精髓。沒有不包括數學思想的數學知識，也沒有游離于數學知識之外的數學思想。《數學教學大綱》和《數學課程標準》把數學思想方法納入基礎知識的教學范圍。通過近幾年的高考，我們發現對數學思想方法的考查越來越多，也越來越受到教育工作者的重視。目前，研究數學思想方法的文獻不少，但是在數學教學過程中，究竟如何強化數學思想方法教學，仍需進一步研究。本文在論述數學思想、數學方法及其相互關系和數學思想方法教學意義的基礎上，著重探討中學數學教學中強化數學思想方法教學的策略。

1.數學思想、數學方法及其相互關系

數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識。中學數學中，數學思想主要有數學符號與變元思想、集合與對應思想、數形結合思想、類比與歸納思想、化歸思想等。數學方法是分析、處理和解決數學問題的策略。數學方法分為兩類：一類是理論形成的方法，如觀察、實驗、歸納、類比、一般化和特殊化等方法。另一類是解決實際問題的方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數、分析和綜合等方法。數學方法是數學思想在數學認識活動中的具體反映和體現，是處理探索解決數學問題、實現數學思想的手段和工具。數學思想是數學方法的理論基礎，是其精神的實質，它指導數學方法運用的方向。“數學思想”和“數學方法”常常聯系在一起，一般來說，對于同一個數學成就，當人們用于解決問題時，稱之為數學方法；當人們評價其在數學體系中的價值和意義時，稱之為數學思想。

2.加強數學思想方法教學的意義

數學思想是對數學知識的本質認識，是從具體的數學知識中提煉出來的數學的靈魂與精髓。因而，它對于學生認知結構的完善，學習能力的提高，以及未來的全面發展都有著重要的意義。

2.1加強數學思想方法教學，有利于完善學生認知結構。

知識結構是數學內容及其各個組成部分的搭配和排列，對于我們的認知來說，它是外在之物。我們通過學習將它們轉化為自己掌握的東西后，就變為內在之物——認知結構。數學認知結構是一種邏輯結構，主要是由數學基礎知識及各知識點之間的相互關系所構成。學生學習新的數學知識，不僅取決于原數學認知結構中是否具有與新數學內容學習相關聯的知識，而且取決于新、舊知識之間的聯系、組織方式、結構排列的層次性，也就是我們所說的認知結構。數學思想方法是新舊知識之間聯系的橋梁，它能夠優化新、舊知識的組織方式，促進新、舊知識的融合，使學生的認知結構更加完善。

2.2加強數學思想方法教學，有利于提高學生學習能力。

美國心理學家布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”所謂基本結構就是指“基本的、統一的觀點，或者是一般的、基本的原理”。學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的，數學思想與方法為數學學科的一般原理的重要組成部分。懂得數學的基本原理，學生就更容易理解數學知識和內容，也就更容易記住這些知識和內容，從而提高學習效率，學習能力自然也就得到提高了。

2.3加強數學思想方法教學，有利于促進學生未來發展。

一位哲人說“即使是學生把教給他的所有知識都忘記了。但是還能使他獲得受用終生的東西的那種教育，才是最高最好的教育”。無論學生將來從事什么職業，做什么樣的工作，能直接運用學生時代所學的數學知識并不多，有些職業、有些工作很可能一點都用不到，但那些深深銘刻于學生頭腦中的數學精神、思想、方法，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。有人做過一次統計：學生畢業后，研究數學和從事數學教育的人占1%，使用數學的人占29%，基本不用或很少用數學的占70%。加強數學思想方法的教學，將數學知識真正建立在數學思想方法基礎之上，用實用數學的思想方法指導學生掌握數學的核心內容，并且能讓學生將知識和方法用于今后的工作和生活之中，這才是成功的教學。因此，加強學生數學思想方法的培養，是學生成長、發展的必然需求。

3.加強數學思想方法教學的策略

問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂。不管是數學概念的建立，數學規律的發現，還是數學問題的解決，乃至整個“數學大廈”的構建，核心問題都在于數學思想方法的建立與創新。因此，在數學教學中，我們要十分重視揭示在數學知識的發生、形成和發展過程中所蘊涵的數學思想方法。

4.1在知識的發生過程中滲透數學思想方法。

數學思想方法產生于數學知識，而數學知識又蘊藏數學思想。數學思想方法以內隱的方式，蘊涵于數學知識體系中。教師在教學中，要善于展示概念的形成過程、公式定理的探究過程、方法的思考過程，揭示蘊涵于知識體系中的數學思想方法，使學生領會這些數學思想方法，并在潛移默化中達到理解和掌握。滲透應遵循由感性到理性、由具體到抽象、由特殊到一般的原則，使認識過程返璞歸真。讓學生以探索者的姿態出現，在自覺的狀態下，參與知識的形成和規律的揭示過程，領悟、運用、內化蘊涵于其中的數學思想和方法。比如在學習“公式法求一元二次方程的根”這一節時，我們在公式推導的過程中，從簡單的方程入手，通過直接開平方根、配方法推導出求根公式。我們先帶領學生解下面方程：

①x■-4=0，可以直接開平方，得到x=±2。

②（x-2）■=1，直接開平方，得到x-2=±1，從而得出：x■=1，x■=3。

此時引導學生歸納出：若方程的一邊是完全平方式，另一邊是一個非負數的平方，則可以直接開平方，解出方程的根。

③x■-4x+3=0

此時左邊不是完全平方式，如何將左邊轉換成完全平方式，將它轉化成我們熟悉的方程直接開平方求解呢？引出配方法，講解它的一般步驟，并進行適當鞏固練習。

④x■+px+2=0

⑤x■+px+q=0

⑥ax■+bx+c=0（a≠0）

在此過程中，引導學生逐步學會用字母代替數，領會數學符號思想。

在知識的形成階段，不要把數學定理、性質、法則、公式、規律等結論都直接教給學生，這種灌輸式的教學會讓學生感到數學很難，很枯燥，甚至失去興趣、失去信心。同時，教師在教學中不要呆板地在連接上找關聯，探索、發現、推導這個過程本身就要求上下貫通、左右逢源，否則就會失去許多向學生滲透數學思想的大好時機。

4.2在知識的概括總結過程中提煉數學思想方法。

數學知識貫穿在整個中學數學教材的知識點中，有些數學思想方法在知識點中直接體現出來了，有些卻蘊含在數學知識中。要使學生把這些數學思想方法都轉化為自己的觀點，并運用它們解決問題，就需要教師在總結概括的時候，把各種知識所蘊涵的數學思想方法有意識地提煉出來，并有目的、有步驟地引導學生參與數學思想方法的提煉概括過程，增強他們對數學思想方法的應用意識，從而提高他們獨立分析、解決問題的能力。

（1）同一章節可能蘊含多種數學思想方法。如“直線和圓的方程”這一章就蘊含數形結合思想、化歸與轉換思想、歸納與類比思想等。具體分析如下：

①在求直線方程時，由多種直線方程的特殊式總結出一般式，蘊含歸納的思想方法。

②在求直線斜率時，要將圖形與具體數值相結合，蘊含數形結合的思想方法。

③在求直線和直線的交點時，要將兩方程聯立轉化成二元一次方程組，蘊含代入、轉換的思想方法。

（2）同一數學思想方法也可能隱藏在不同的章節之中。例如“數形結合的思想”在“直線和圓的方程”、“不等式的解法”、“函數最值”、“集合”、“三角函數”等章節中都有所體現。

不管是同一章節蘊含多種數學思想方法，還是同一數學思想方法蘊含在不同的章節之中。教師在總結概括的時候，都要把這些思想方法提煉出來，讓學生進一步理解這些數學思想方法。

4.3在問題解決過程中，深化數學思想方法。

受應試教育的影響，不少教師在教學中只注重一些具體技能和方法的訓練，教給學生的僵死的知識和解題模式，結果導致許多學生只能停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍作改變就不知所措，所以教師不僅要教給學生解題的技巧，還要暴露思考問題的過程，揭示蘊涵于其中的數學思想方法，并使學生掌握這些數學思想方法，這就是授之以“漁”比授之以“魚”更重要的道理。只有這樣，學生將來再遇到類似問題時，才可以將所掌握的一般原理運用到實際問題的解決中。

另外，解題不是我們的最終目的。解題后，教師應引導學生進一步回顧解題的過程，概括蘊含于解題過程中的數學思想方法，進一步提高學生對數學思想方法的理解和認識，達到深化數學思想方法的目的。

例：設n是大于2的正整數，求證所有小于n且與n互質的正整數的立方和能被n整除。（第51屆國際數學奧林匹克競賽試題）

分析：①最容易想到的方法是先求出所有小于n且與n互質的正整數的立方和，再證明這個立方和能被n整除。但求這個立方和絕非易事。②把題目變得容易一點，“設n是大于2的正整數，求證：所有小于n且與n互質的正整數的和能被n整除。”如果還有困難，則變得再容易一點，將n指定為質數101，這時一定不會有困難了。因為小于101且與101互質的正整數有1，2，…，100，它們的和高斯早已解決了，是5050，恰好是101的整數倍。高斯解法的精髓是“配對”思想。他將這100個數配成了50對，即1和100、2和99，…，50和51，每一對的和都是101，都是101的整數倍。小于n且與n互質的正整數能夠如此配對嗎？設a是小于n且與n互質的正整數，即（n，a）=1，由簡單的數論知識即可知道，（n，n-a）=1，于是n-a也是小于n且與n互質的正整數。可見，小于n且與n互質的正整數是成對出現的，而a+（n-a）=n，能被n整除。會出現無法配對的“中間數”嗎？不會，否則a=n-a，即n=2a，與（n，a）=1矛盾。所以，小于n且與n互質的正整數的和能被n整除。至此，學生已容易發現a■+（n-a）■=n■-3an■+3a■n=n（n■-3an+3a■），也是n的整數倍，所以小于n且與n互質的正整數的立方和能被n整除。

上述過程，從失敗到成功，每一步都非常自然，學生從中不僅可以獲得解題的方法，而且可以體會到數學思想在解題過程中的重要作用。上述過程中包含了豐富的化歸與轉化思想、特殊化思想，以及不知名的“配對”思想，這些數學思想在問題解決過程中得到了活化，對學生日后的解題活動具有重要的指導作用。最后，在實際操作中任何一種數學思想方法的學習和掌握，絕非一朝一夕的事，也不是靠講幾節專題課所能奏效的。它需要師生要共同努力，長時間滲透，逐級遞進，不斷深化，有意識、有目的地培養。數學思想一旦在頭腦中形成了理念，數學能力及素養必將得到升華。