淺談中學數學教學中的數形結合思想

摘要：對解決某些數學問題往往能事半功倍，同時對求異思維的培養(yǎng)、訓練學生一題多解的能力都不無裨益。文章從不同的方面舉例說明其應用的廣泛性并討論了實現(xiàn)數形結合的主要途徑。

關鍵詞：數形結合；抽象；直觀；坐標聯(lián)系；審視聯(lián)系；構造聯(lián)系

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）43-0099-02

一、“數形結合”的意義

從直觀到抽象的思維，再由抽象思維到實踐，是認識真理、發(fā)展真理的辯證過程。要使學生對抽象的數學概念、定理、法則等真正地理解和掌握，要真正地發(fā)展學生的抽象思維，就要采取化抽象為直觀、形象、具體的教學方法，“數形結合”便是行之有效的方法之一。

直觀、形象、具體的教學方法實際上就是把數學問題實物化的方法。實際上，數學作為事物客觀存在的一種形式，其中的問題都具備“形”的因素。因而，我們可以說，從理論上講，任何一個數學問題都可以發(fā)掘其中的“形”，并發(fā)揮它的直觀作用而給予問題一個實體感的解答，其重要作用自不待言。對于幾何問題中的數與形的結合，主要工具便是坐標系的建立有了點與坐標的對應。幾何中的“形”的內在本質可以由代數方程來解決，就代數中的問題而言，若發(fā)揮“形”的作用，利用“形”來解決，其效果也往往比進行純數、理的抽象、煩瑣甚至是枯燥的推演要好得多。如把方程、不等式、數列問題轉化為函數問題，用圖形來處理就要一目了然。文字敘述及解析式使之圖象化，問題便迎刃而解。在微積分中，抽象的“ε—Ν”“ε—δ”極限方法，用集合的知識形象處理，可使初學者容易抓住問題的實質等，都是用“形”直觀地解決問題的生動例子。許多的代數問題，只要我們有意識地從“形”入手去思考和分析，往往更能從整體上把握問題的實質，抓住問題的關鍵，找到行之有效的解題方法。

二、“數形結合”舉隅

眾所周知，恰當地將數與形結合起來，對解決某些數學問題往往能事半功倍，同時對學生求異思維的培養(yǎng)、訓練一題多解的能力都不無裨益。

1.在實數問題中的應用。

例1：已知a、b、c如圖（1），完成下列填空。

（1）a、-a、b、c四個數按從小到大的順序排列是 ，在數軸上越左的點表示的數越小。

（2）化筒|a|-|a+b|+|c-b|= 。

絕對值表示數軸上的點到原點的距離，它是非負的。

（3）a的相反數是 ，-a 0。

數a的相反數表示在數軸上的數a的點關于原點對稱的點的坐標。

數軸是真正意義上的數形結合，首次將數與形有機地結合起來，可以解決有關實數的相關問題。

數軸的直觀作用遠遠不止這些，隨著學習的不斷深入，在學習有理數加減法法則、無理數、實數、解方程、解不等式等方面，數軸仍有它神奇的直觀作用。

2.在解方程中的應用。

例2：若方程x2+（m2-1）+（m-2）=0的兩個實數根分別大于1和小于-1，求實數m的取值范圍。

分析：方程的解與平面直角坐標系是分不開的，故構造平面直角坐標系，畫出函數圖象，則例2便可迎刃而解。

解：令y=x2+（m2-1）x+（m-2），依題意其圖象應如圖（2），則

可得： -2

例3：解方程組■+■=5x-y=12

分析：不難發(fā)現(xiàn)■>0、■>0，

這樣一來若結合換元思想將方程進一步簡化，可設a= ■、b=■，則得a+b=5a■-b■=（■）■

解：根據方程，構造Rt△ABC如圖（3）。

其中AB=■，BC=a，AC=b，

又注意到a>0、b>0，故延長AC至D使CD=BC，連結BD，則AD=5（a+b=5），從而BD=■=■=■，

AC=5-a，

所以，在Rt△ABC中，cos∠BCA=■，

又在△BCD中，cos∠BCD=■（余弦定理），

顯然cos∠BCA=-cos∠BCD，

即■=-■，解之得a=4 b=1。

所以■=4■=1 解得x=15y=3

經檢驗x=15y=3是原方程組的解。

中學數學中，“數形結合”的事例是相當普遍的，何止以上所述。請各位同仁注意使用，一定會給您的解題帶來方便，這對中學數學教學及培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力無疑是有益的。應用這種方法的過程其實質是從具體到抽象，再從抽象到具體的循環(huán)過程。如何正確、合理、適時地應用它，是一個值得持續(xù)的教研課題。它無論作為一種數學方法或數學思想，都必須引起教學者和學習者的足夠重視，這種方法的技巧性強，構圖方法比較靈活，難度較大，實現(xiàn)數形結合，主要通過三種途徑：坐標聯(lián)系、審視聯(lián)系、構造聯(lián)系。值得注意的是，代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則數形結合解題就會出現(xiàn)漏洞。至于任何一個數學問題能否都可以用圖形來解，也是一個值得持續(xù)研究的課題。我將這些不成熟的看法提出來，請同行們批評指正，以便在此基礎上更加深刻地去研究。

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