在《高等數(shù)學》教學中使用MATLAB制作曲面和動畫的幾個實例

摘要：在多元微積分的教學中，正確繪制二元函數(shù)圖形對于理解空間曲面、空間曲線和重積分概念和提高計算技巧具有重要意義。利用MTALAB的給出一些典型的二元函數(shù)圖形和動畫例子，這些例子可以加深學生對概念的理解，提高學習興趣和教學效果。

關(guān)鍵詞：空間曲面；高等數(shù)學；教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）32-0175-03

眾所周知，在《高等數(shù)學》多元微積分的教學過程中，學生對空間曲面、曲線和區(qū)域的理解歷來是他們的學習難點，而“一幅好圖勝過千言萬語”。在教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)如果教師能精心設(shè)計的一幅好的三維圖形或動畫，可使學生對空間曲面、曲線、梯度和重積分的概念理解達到豁然開朗、茅塞頓開的教學效果。

MATLAB作為最流行的通用科學計算軟件，具有強大的圖形可視化功能，可以做出非常精致的圖形。在多元微積分的教學中，通過繪制空間曲面和曲線的圖形，可使數(shù)學知識變得直觀生動，增強學生對數(shù)學的學習興趣，并為學生日后從事數(shù)學建模、科學與工程計算打下基礎(chǔ)。本文通過幾個例子和源代碼指出利用MATLAB繪制三維圖形、動畫以及一些需要注意的問題。

一、空間曲面的繪制

函數(shù)的空間圖形對于理解多元函數(shù)的許多相關(guān)概念極為重要，下面給出如何在MATLAB環(huán)境下繪制二元函數(shù)圖形的方法。二元函數(shù)一般可用surf和mesh命令繪出，有些需要參數(shù)化后再用這兩個命令，見下面例子。

例1：莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶（M?搖bius strip或者M?搖bius band）是由德國數(shù)學家、天文學家莫比烏斯（August Ferdinand M?搖bius）和約翰·李斯?。↗ohhan Benedict Listing）在1858年獨立發(fā)現(xiàn)的，它只有一個面（表面）和一個邊界，可以用一個紙帶旋轉(zhuǎn)半圈再把兩端粘上之后輕而易舉地制作出來。事實上有兩種不同的莫比烏斯帶鏡像，他們相互對稱。如果把紙帶順時針旋轉(zhuǎn)再粘貼，就會形成一個右手性的莫比烏斯帶，反之亦類似。莫比烏斯帶可以按如下參數(shù)方程為：

x=（1+■cos■）cosu，x=（1+■cos■）sinu，0≤u＜2π，-1≤v＜1z=■sin■

這個方程組可以產(chǎn)生一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為xOy面，中心為（0，0，0）。參數(shù)u在v從一個邊移動到另一邊的時候環(huán)繞整個帶子。

MATLAB源代碼：

clc，clear，close all

u=[0∶0.1∶2*pi]；

v=[-1：0.1：1]；%參數(shù)變量

n1=length（u）；n2=length（v）；

x=zeros（n1，n2）；y=x；z=x；

hold on

for i=1：n1

for j=1：n2

?搖x（i，j）=（1+v（j）/2*cos（u（i）/2））*cos（u（i））；

?搖y（i，j）=（1+v（j）/2*cos（u（i）/2））*sin（u（i））；

?搖z（i，j）=v（j）/2*sin（u（i）/2）；

?搖end

end

%由于旋轉(zhuǎn)2*pi，最后一行與第一行旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)

x=[x；x（1，n2：-1：1）]；y=[y；y（1，n2：-1：1）]；

z=[z；z（1，n2：-1：1）]；surf（x，y，z）；view（120，30），shading interp

%繪制帶箭頭的坐標軸

arrow3（[0 0 0；0 0 0；0 0 0]，[2 0 0；0 2 0；0 0 2]，'

-x2.5'，0.12）

text（'units'，'inch'，'position'，[1.35，1.4]，'fontsize'，16，'interpreter'，'latex'，'string'，'＄＄O＄＄'）

……

axis off，axis equal，lighting phong，material dull，set（gcf，'color'，'w'）

例2：環(huán)面。

在幾何上，一個環(huán)面是一個面包圈形狀的旋轉(zhuǎn)曲面，由一個圓繞一個和該圓共面的一個軸回轉(zhuǎn)所生成。球面可以視為環(huán)面的特殊情況，也就是旋轉(zhuǎn)軸是該圓的直徑時。若轉(zhuǎn)軸和圓不相交，圓面中間有一個洞，就像一個圈形面包圈或一個充了氣的輪胎。

圓面可以參數(shù)式的定義為：

x=（R+rcosv）cosu，y=（R+rcosv）sinu，z=rsinv 0≤u＜2π，0≤v＜2π

R=3是管子的中心到畫面的中心的距離，r=1是圓管的半徑。

模仿上面的源代碼，可得如下圖形。

二、動畫的生成

MATLAB提供了movie命令用來演示動畫，movie2avi和imwrite用來生成動畫文件。下面給出一個示例。

MATLAB自帶的peaks函數(shù)，可產(chǎn)生一個包含三個局部極大點及三個局部極小點的凹凸有致的曲面（見圖3）。在這里，不但可以使用movie命令讓演示上下波動的效果，還可以生成gif和avi格式的動畫文件，用于制作網(wǎng)頁和ppt。

Z=peaks；surf（Z），shading interp，axis tight

set（gca，'nextplot'，'replacechildren'，'visible'，'off'）

f=getframe；

[im，map]=rgb2ind（f.cdata，256，'nodither'）；

im（1，1，1，20）=0；

for k=1：20

surf（cos（2*pi*k/20）*Z，Z）；shading interp

?搖f=getframe；F（k）=f；

?搖im（：，：，1，k）=rgb2ind（f.cdata，map，'nodither'）；

end

movie（F，10）%演示動畫10次

imwrite（im，map，'DancingPeaks.gif'，'DelayTime'，0，'LoopCount'，inf）%生成gif動畫文件

movie2avi（F，'DancingPeaks.avi'）%生成avi動畫文件

三、結(jié)束語

利用MATLAB圖形窗口，還可用鼠標選中三維圖形變換各個角度進行觀察，便于理解空間曲面的概念。同時，利用MATLAB命令還可以對圖形加以渲染、透視和鏤空等，并輸出高質(zhì)量的圖形和動畫。本文給出一些典型的例子，并包含了MATLAB源代碼和注釋，便于根據(jù)這些例子繪出更多更好的圖形。

參考文獻：

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[3]薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學問題的Matlab求解[M].北京：清華大學出版社，2004.

[4]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學下冊（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

基金項目：防災科技學院2012年度精品建設(shè)課項目

作者簡介：霍振香（1985-），女，河北邯鄲人，助教，碩士，畢業(yè)于福州大學應(yīng)用數(shù)學專業(yè)，目前在中國地震局防災科技學院任教，從事應(yīng)用數(shù)學方面的教學和研究工作。