初中數(shù)學(xué)教材例題習(xí)題“二次開(kāi)發(fā)”策略研究

長(zhǎng)期以來(lái)，我們都是通過(guò)大量的習(xí)題訓(xùn)練來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力的，這種高耗低效的教學(xué)方式早已經(jīng)被眾多同行所詬病，但我們也不無(wú)尷尬地發(fā)現(xiàn)，除了這種方式之外幾乎難以尋找到更好的途徑。當(dāng)然，我們并不是找不到更好的方法，許多好方法之所以被棄而不用，原因在于這些方法中的大部分需要教師付出的成本太高，因而人們不愿意使用。筆者以為，我們可以尋找到一種成本更低、效果更好的方法。那就是對(duì)教材上例題和習(xí)題的二次開(kāi)發(fā)。

一、二次開(kāi)發(fā)策略的理論探究

我們說(shuō)教材上的例題和習(xí)題具有二次開(kāi)發(fā)的價(jià)值，是因?yàn)槲覀冏⒁獾竭@些例題與習(xí)題往往能夠使得所學(xué)得的新知識(shí)有一個(gè)綜合性的運(yùn)用。從知識(shí)架構(gòu)的角度來(lái)看，例題與習(xí)題的訓(xùn)練可以讓學(xué)生將新知學(xué)習(xí)中獲取的知識(shí)得到一個(gè)更深層次的理解。在傳統(tǒng)教學(xué)中，我們對(duì)例題和習(xí)題的運(yùn)用往往都是一次性的，因而就不能發(fā)揮這些例題與習(xí)題的全部作用，全部作用的發(fā)揮在于對(duì)它們的二次開(kāi)發(fā)。

那么，對(duì)于例題和習(xí)題進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)的角度有哪些呢？這是涉及到二次開(kāi)發(fā)具體策略的問(wèn)題，必須研究。筆者經(jīng)過(guò)研究，總結(jié)出這樣幾個(gè)方面：一是對(duì)例題和習(xí)題進(jìn)行變式；二是對(duì)例題和習(xí)題進(jìn)行建模；三是對(duì)例題和習(xí)題進(jìn)行提取。在筆者看來(lái)，這三個(gè)層次有一定的遞進(jìn)性：變式主要強(qiáng)調(diào)的是變換事物的非主要特征，強(qiáng)調(diào)主要特征；建模強(qiáng)調(diào)的是為學(xué)生提供一種數(shù)學(xué)模型；提取強(qiáng)調(diào)的是緊扣例題和習(xí)題素材進(jìn)行拓展。下面通過(guò)筆者在研究過(guò)程中的幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

二、二次開(kāi)發(fā)策略的實(shí)踐探究

首先談例題與習(xí)題的變式。變式不僅僅是變換習(xí)題的形式，不是改變或交換已知和未知那么簡(jiǎn)單，或者再說(shuō)得更清楚一點(diǎn)，那就是“變式不是變換形式”。變式的主要思路在于變換學(xué)習(xí)對(duì)象的非主要特征。以“二次根式的加減”教學(xué)（人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)，下同）為例，其在強(qiáng)調(diào)“二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并”時(shí)，提供了這樣幾個(gè)例題：√9a+√25a；√80-√45。這兩個(gè)例題有什么味道？前者是符號(hào)，后者是數(shù)字。一般情況下學(xué)生不都是喜歡做數(shù)字的，為什么數(shù)字的反而放在后面呢？思考這些我們就能發(fā)現(xiàn)二次開(kāi)發(fā)的窗口。顯然，從難易程度上來(lái)看，前者易于后者，而前者的解決恰恰可以為后者的解決打開(kāi)視角，換句話說(shuō)，如果直接做后者，學(xué)生的思路是難以打開(kāi)的；甚至我們還可以看到一個(gè)小小的細(xì)節(jié)，那就是前者是加，后者是減，這也是編者用心的地方。根據(jù)這樣的思路，我們可以將本例題開(kāi)發(fā)（變式）成類似這樣的題目：√16ab3-√9a3b。跟原題相比，其解題思路沒(méi)有變，但根號(hào)內(nèi)的內(nèi)容發(fā)生了變化，需要學(xué)生在原有思路的基礎(chǔ)上稍加拓展進(jìn)行思考才能解決。

然后談基于例題和習(xí)題的建模。建模本身就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，這里所說(shuō)的建模與常見(jiàn)的為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)建模有所不同，這里指的是數(shù)學(xué)教師利用建模思想，從典型例題或習(xí)題中尋找具有代表性的題目，使之成為解決一類問(wèn)題的模型的過(guò)程。例如在“解一元二次方程”時(shí)的思路是“降次”，教材上為“配方法”提供的例題和習(xí)題分別是：x2-8x+1=0等3題，和x2+10x+ =（x+ ）2等10道題目。顯然，這里通過(guò)提供最基本的一元二次方程作為例題，以讓學(xué)生通過(guò)移項(xiàng)等方法完成對(duì)一元二次方程的配方，使之變成兩個(gè)一元一次方程，這是配方法解題的主要思路，而習(xí)題實(shí)際上是通過(guò)變式的方式提供的題目。因此我們?cè)诙伍_(kāi)發(fā)時(shí)，應(yīng)當(dāng)秉承這一思路進(jìn)行。篇幅所限，此不贅述具體例題，只強(qiáng)調(diào)例題思想，同時(shí)也是本知識(shí)點(diǎn)中例題建模的思想：將方程化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）。

最后談對(duì)例題和習(xí)題的提取。這里所說(shuō)的提取是指提取包括例題或習(xí)題的素材、創(chuàng)意等。這是學(xué)生熟悉例題與習(xí)題的主要方式，是提高學(xué)生理解知識(shí)能力與應(yīng)試能力、減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的重要途徑。例如在“旋轉(zhuǎn)”知識(shí)的教學(xué)中，我們注意到練習(xí)題的素材多以實(shí)際問(wèn)題為主，如“舉出一些現(xiàn)實(shí)生活中旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角”“時(shí)鐘的時(shí)針在不停地旋轉(zhuǎn)，從上午6時(shí)到上午9時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是多少度？從上午9時(shí)到上午10時(shí)呢？”等，這給我們的啟發(fā)是，此類知識(shí)點(diǎn)重在對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，因此二次開(kāi)發(fā)應(yīng)當(dāng)以尋找實(shí)際生活中的素材為主。如筆者在二次開(kāi)發(fā)的研究中曾經(jīng)進(jìn)行了這樣的嘗試：用三角板在黑板上旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生針對(duì)旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角去提出問(wèn)題。學(xué)生提出的問(wèn)題一般包括如下幾個(gè)范疇：一是旋轉(zhuǎn)中心的確定理論上任意的，其中尤其以三個(gè)頂點(diǎn)為簡(jiǎn)單；二是旋轉(zhuǎn)角的確定與旋轉(zhuǎn)中心的確定密切相關(guān)；三是復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)是簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)的疊加，因此一個(gè)復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)換為幾個(gè)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)。

顯然，當(dāng)我們從例題中提取出“旋轉(zhuǎn)”知識(shí)例題的特點(diǎn)之后，對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練就有了牛鼻子可抓，也就能起到事半功倍的作用。

總之，在對(duì)教材上的例題和習(xí)題進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)的過(guò)程中，我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解與認(rèn)識(shí)也逐步深入，比如說(shuō)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)有時(shí)并不是隨意選擇一道習(xí)題就能起到鞏固的作用，尤其是當(dāng)我們沉迷于選擇最新的中考題作為新課學(xué)習(xí)的訓(xùn)練題時(shí)，對(duì)例題和習(xí)題的二次開(kāi)發(fā)卻告訴我們這并不一定是最好的選擇。因?yàn)橹锌剂?xí)題的情境與新課學(xué)習(xí)的情境往往大相徑庭，當(dāng)兩種情境并不匹配時(shí)，就起不到預(yù)期的效果。那么怎樣合理選擇最新的題目呢？二次開(kāi)發(fā)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們：根據(jù)習(xí)題與新課教學(xué)情境的相關(guān)程度去選擇，是最為科學(xué)的策略。