淺談數學分析課程的教學感悟

【摘 要】基于數學分析在高等院校數學專業中的重要性，文章結合學生在數學分析的學習過程中遇到的問題，提出了三點化解的方法，主要通過定理產生的背景知識來激發學生的興趣，幫助學生建立起化歸類比的思想，讓學生體會到其在實際問題中的應用。

【關鍵詞】數學分析 教學 中圖分類號：G424.1

對于高等院校數學專業的學生來說，進學校接觸的第一門課程就是數學分析，可是剛一接觸，學生就望而卻步了，因為學生的思維還停留在初等數學的理論階段，對于突如其來的極限、微分、積分等概念一時無法接受和理解，但是數學分析這門課程又扮演著至關重要的作用，是后面很多專業課程的理論基礎。因此，對于高校的數學分析課程的講授者來說，如何讓學生更好地掌握高等數學的理論和方法就非常關鍵。

學習數學分析時出現的問題

教師：學習數學分析到底有什么作用？數學分析到底能幫助學生解決什么問題？為什么要對函數求極限，求導數，求積分？為什么很多定理的證明都要構造函數，這個函數是怎么構造的？導數和積分互為逆運算，相互求解有什么意義？為什么二重積分和廣義積分運算這么復雜？為什么上課聽得懂，自己做題就不會了呢？我估計每個數學分析教師都經歷過學生問的這些問題，這也是一直困擾數學專業學生的大問題。如果這些問題得不到解決，學生對于數學分析這門課程就會望而生畏，喪失信心和獲取新知識的積極性，導致作為數學專業的學生，被數學分析這門基礎課給難住了。

數學分析這門課程無論是哪個版本，都是以邏輯演繹的形式呈現數學知識的，展現給學生的是很多大數學家思考的結果而非思考的過程。所以教師在講授的過程中，難免是授人以魚，而達不到授之以漁。

化解這類問題的幾種方法

1.使學生了解定理產生的背景知識，以激發學生濃厚的興趣

在我目前的教學工作中，首先，我認為培養學生學習數學分析的興趣很重要，最直接的方法就是先讓他們了解這個定理是怎么來的，當年那些數學家發現這個定理時有什么有趣的故事。比如：美國著名的計算數論專家卡爾，他在初中參加一次普通的數學競賽時碰到一道分解整數8051的題，他沒有使用一般的因式檢驗法，而是先動腦筋看有沒有簡便算法，最后他發現了數論上很有名的定理：每個奇合數必定能用平方差的方式分解為兩個大于1的整數之積。通過卡爾的故事告訴學生學習數學要敢于問問題，敢于猜想，積極形成反思的意識，所謂“學貴質疑，小疑則小進，大疑則大進。”再比如：像羅爾定理的誕生就很有趣，羅爾所處的時代是正當牛頓、萊布尼茨的微積分誕生不久，由于這一新生事物存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對派中最直言不諱的一員。羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文中指出了：在多項式方程的兩個相鄰的實根之間，方程至少有一個根。在一百多年后，1846年尤斯托將這一定理推廣到可微函數，并把此定理命名為羅爾定理。

數學分析課程，很多定理的出現都與卡爾、羅爾的背景很相似，通過數學故事可以讓學生感受到一定的教育價值，從而達到產生學習興趣的效果。

2.轉化定勢思維，對問題進行類比和歸納

在數學分析課程中，我們認識到數學的發現不能僅依賴于演繹推理，要取得更大的發展是離不開類比和歸納的。因此在這門課的教學過程中，在加強演繹推理學習的同時，更應該加強學生的類比和歸納的訓練。對于一些問題，要轉化一下思維，不能一味地埋頭計算，要做適當的變通，可能會達到事半功倍的效果。比如，泰勒公式，用得較多的是泰勒公式在 時的特殊形式，即 ，稱之為麥克勞林公式，其中有六類初等函數

可以直接泰勒展開，在做題時很方便可以直接使用。但是學生經常遇到的問題是計算時運算量很大，尤其是在求到四階以上的導數時。比如，求 到含 的項的麥克勞林公式。學生一看到題，不思考先直接求導 ， ，

，再繼續求四階導數和五階導數。其實我們可以轉化思維，指數函數求導比分數求導容易，可以將函數的一階導數寫成 ，再求后面的高階導數，這樣是不是更容易一些呢？而且題目是展成麥克勞林公式，那只要展開式出現關于 乘積形式，就直接是零。還有一類計算用到泰勒公式，在遇到較復雜的求極限的題型時，比如求 ，這是■不定式極限，可以直接用洛必達法則，但是在不斷地求導數時會較復雜。由于 ，因此可以考慮用麥克勞林公式，但學生不知道在展開時應該展到第幾項為止，由于分母是四次，所以分子只需要到四次即可，大于四次的可以直接寫成四次項的高階無窮小。

因此，轉化思維是很重要的，要不斷地進行分析和類比，而不是埋頭苦算。

3.將所學知識與實際生活的應用聯系起來

盡量將所學的知識和日常生活中的事物聯系起來，使學生知道數學分析這門課程的用武之地，而不是紙上談兵。例如我們喝水的的杯子，是不是圓柱體的偏多，那這些為什么不做成正方體，長方體，球體等形狀呢？在學習導數之后，就會了解到做成圓柱體是最省材料的。因為這與體積有關，體積是與表面積的大小有一定關系的，我們利用導數得到幾類形狀體的表面積最小值，發現表面積最小的是球體，其次是圓柱體，但是球體不易放置，所以一般情況就會選擇圓柱體，將其作為包裝形狀。

所以，當學生認識到數學分析這門課程可以為日常生活帶來很大幫助，甚至在很多領域都有用的時候，就能真正體會到學以致用的成就感。因此，教師在講授過程中就需要多引用一些實例，讓學生慢慢體會到數學分析這門課程的強大，使學生覺得學好這門課程可以為自身帶來很大的益處。當然數學分析課程的學習體現了很強的邏輯性，但邏輯的每一步遞進都離不開教師的價值引導和學生的積極努力。

學好數學分析的作用及意義

從理論上來講，數學分析作為師范生數學與應用數學和數學教育專業的必修課，是至關重要的一門基礎課程。它不僅是培養學生分析、觀察、處理問題能力的重要的數學工具，更是學生進一步掌握數學其他理論課程，比如微分方程、復變函數、大學物理等課程的理論基礎。從實際應用上來講，數學分析可以培養師范生良好的思維能力和思考習慣，可以提高學生自己解決實際應用問題的能力，甚至可以培養學生良好的意志品質和思考策略。

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作者單位：陜西學前師范學院數學系 陜西西安