如何讓學生更好的掌握CAD/CAM課程中的旋轉變換

摘要：本文針對CAD/CAM課程中的二維及三維圖形旋轉變換進行詳細的推導，并采用坐標代換的方式對三維圖形旋轉變換進行快速求解，獲得變換矩陣。將該種方法用于課堂教學便于學生更好的理解和記憶，并顯著的提高了教學效果。

關鍵詞：圖形變換；旋轉變換；坐標代換

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）45-0101-02

一、引言

CAD/CAM技術是隨著信息技術的發展而形成的一門新技術，如今已廣泛的應用于現代制造業。因此，我國各高校基本都開設了CAD/CAM技術相關課程，以使學生能夠深入了解和開發研究CAD/CAM系統。圖形變換是CAD/CAM課程中的重點和難點，各種變換矩陣較為繁多，尤其是旋轉變換矩陣更是讓學生經?；煜６P于旋轉變換矩陣的求解，很多教科書中并未進行詳細的推導，不利于學生的理解記憶。筆者通過CAD/CAM課程中圖形變換部分的教授發現，二維圖形旋轉變換和三維圖形變換是相互關聯的，二維圖形旋轉變換可看作是三維圖形變換的特例，而利用二維圖形旋轉變換和笛卡爾坐標系符合右手法則的特點，可以利用坐標代換法快速的獲得三維圖形變換的變換矩陣。通過該種方法教學，強化了兩者的對比關系，加深了學生的理解和記憶，顯著的提高了教學效果。

二、二維圖形旋轉變換矩陣推導

對于二維空間（XOY平面）中任意點P，設其坐標為（x，y），P繞原點旋轉θ角所得P'點坐標為（x'，y'），OP與X軸夾角為α，OP長度為L，如圖1所示。由圖1可知：

x'=Lcos（α+θ） =Lcosαcosθ-Lsinα+sinθ

=xcosθ-ysinθ （1）

y'=Lsin（α+θ）=Lsinαcosθ+Lcosα+sinθ

=ycosθ+xsinθ （2）

將式（1）、（2）寫成矩陣形式可得：

x'y'=cosθ -sinθsinθ cosθxy （3）

由于本次僅進行旋轉變換，無平移、投影等變換，則式（3）以齊次坐標和標準變換矩陣形式可寫為：

x'y'1=cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0 0 0 1xy1 （4）

由式（4）可知，二維圖形繞坐標原點旋轉的標準變換矩陣T2D為：

T2D=cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0 0 0 1

三、三維圖形旋轉變換矩陣推導

在三維圖形變換中通常使用的是符合右手法則的笛卡爾坐標系。而正是基于該原理，筆者利用坐標代換法，在求得繞Z軸旋轉的標準變換矩陣的基礎上快速的求解出了繞X軸和Y軸的變換矩陣。

（一）繞Z軸的旋轉變換

設三維坐標系中P點坐標為（x，y，z），點Q為點P在XOY平面上的投影，OQ與X軸的夾角為α，OQ長度為L；P點繞Z軸旋轉θ角所得P'點坐標為（x'，y'，z'），點Q'為點P'在XOY平面上的投影，如圖2所示。由圖2可知，當P點繞Z軸旋轉時，z坐標保持不變，而在XOY平面上的變換與二維圖形旋轉變換完全相同，因此可知：

z'=z （5）

x'=xcosθ-ysinθ （6）

y'=ycosθ+xsinθ （7）

由于本次僅進行旋轉變換，無平移、投影等變換，則式（5）～（7）以齊次坐標和標準變換矩陣形式可寫為：

x'y'z'1=cosθ -sinθ 0 0sinθ cosθ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1xyz1 （8）

由式（8）可知，三維圖形繞Z軸旋轉的標準變換矩陣 Tz為：

TZ=cosθ -sinθ 0 0sinθ cosθ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

（二）繞X軸的旋轉變換

將圖2中的Z軸替換為X軸，同時根據笛卡爾坐標系符合右手法則的原理則可確定，圖2中原X軸和Y軸則替換為Y軸和Z軸。如圖3所示。根據圖3可將式（5）～（7）中的z（z'）、x（x'）和y（y'）分別替換為x（x'）、y（y'）和z（z'），則有：

x'=x （9）

y'=ycosθ-zsinθ （10）

z'=zcosθ+ysinθ （11）

根據式（9）～（11）及三維圖形變換一般形式，可知繞X軸旋轉的標準變換矩陣為：

TX=1 0 0 00 cosθ -sinθ 00 sinθ cosθ 00 0 0 1

（三）繞Y軸的旋轉變換

將圖2中的Z軸替換為Y軸，根據右手法則可知，圖2中原X軸和Y軸則替換為Z軸和X，如圖4所示。據此，將式（5）～（7）中的坐標進行替換，可得：

y'=y （12）

z'=zcosθ-xsinθ （13）

x'=xcosθ+zsinθ （14）

根據式（12）～（14）及三維圖形變換一般形式，可知繞Y軸旋轉的標準變換矩陣為：

TY=cosθ 0 sinθ 0 0 1 0 0-sinθ 0 cosθ 0 0 0 0 1

四、結論

本文在根據幾何關系求解二維圖形旋轉變換的基礎上，進一步結合圖形快速的推導出了三維圖形繞Z軸旋轉變換的標準矩陣；利用笛卡爾坐標系符合右手法則的特性，采用坐標代換法對繞Z軸旋轉變換的推導關系式進行坐標替換，從而簡介、快速的求得了繞X軸及Y軸的旋轉變換矩陣。

通過圖形及最終的標準變換矩陣可知，二維圖形旋轉變換是三維圖形旋轉變換的特例。利用該推導方法進行課堂教學，有助于學生更好地理解旋轉變換矩陣的求解過程和意義，也便于學生進行對比，從而加深理解記憶。因此，采用該種方法授課顯著地提高了教學效果。