兩樣本均值的假設(shè)檢驗及其R軟件實現(xiàn)

摘要：兩樣本均值的假設(shè)檢驗是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中很關(guān)鍵的一部分內(nèi)容，在生物醫(yī)學(xué)、質(zhì)量檢測等領(lǐng)域中常遇到比較兩樣本是否存在顯著差異。利用傳統(tǒng)的手工方法分析數(shù)據(jù)存在一些困難，因此，將統(tǒng)計軟件引入《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中適合了時代的發(fā)展。本文結(jié)合實例介紹R統(tǒng)計軟件在兩樣本均值假設(shè)檢驗中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：R統(tǒng)計軟件；假設(shè)檢驗；U檢驗；t檢驗

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）20-0213-02

兩樣本假設(shè)檢驗問題在生物醫(yī)學(xué)、質(zhì)量檢測等領(lǐng)域常常遇到。如研究兩種不同飼料對雌鼠體重增加是否有差異，兩種不同藥品對病人療效是否相同。在講授兩樣本假設(shè)檢驗理論知識的同時應(yīng)將統(tǒng)計軟件的應(yīng)用作為一個重點，讓學(xué)生至少熟練掌握一門統(tǒng)計軟件。目前，可用于統(tǒng)計分析的軟件有很多，如Excel、SPSS、SAS、Eviews、Minitab，S-plus以及R等。由于R軟件具有強大的計算與圖形展示功能、更新迅速以及自由免費等諸多優(yōu)點[1-5]，目前國內(nèi)越來越多的高等院校在統(tǒng)計教學(xué)中將R軟件作為教學(xué)軟件。本文將結(jié)合實例介紹R統(tǒng)計軟件在兩樣本均值假設(shè)檢驗中的應(yīng)用。

一、兩樣本均值假設(shè)檢驗及R語言實現(xiàn)

設(shè)X1，X2，…，Xn■～N（μ1，σ■■），Y1，Y2，…，Yn■～N（μ2，σ■■）且兩樣本獨立。在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程中，對兩正態(tài)總體的假設(shè)檢驗問題常介紹兩種情況：（1）σ■■和σ■■已知；（2）σ■■=σ■■=σ■未知。本文僅以雙側(cè)假設(shè)檢驗為例，考慮假設(shè)檢驗問題：H0∶μ1=μ2，H1∶μ1≠μ2.下面分別介紹兩種情況下的檢驗方法及R語言實現(xiàn)。

1.檢驗方法。①σ■■和σ■■已知，當(dāng)H0為真時，可以構(gòu)造U檢驗統(tǒng)計量：U=■～N（0，1）對給定的顯著性水平α，H0的拒絕域為：U≥Zα/2.②σ■■=σ■■=σ■未知，當(dāng)H0為真時，可以構(gòu)造t檢驗統(tǒng)計量：T=■～t（n1+n2-2），其中Sw=■，S■■和S■■分別是X和Y的樣本標準差。對給定的顯著性水平α，得H0的拒絕域為：T≥tα/2（n1+n2-2）.

2.案例分析。本節(jié)采用文獻[6]中的案例來說明R統(tǒng)計軟件在兩樣本假設(shè)檢驗中的應(yīng)用。某克山病區(qū)測得11例克山病患者與13名健康人的血磷值（mmol/L），結(jié)果如下：克山病患者（X）：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11。健康人（Y）：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87

該地克山病患者與健康人的血磷值是否相同？

①假定σ■■和σ■■已知，σ■■=0.17，σ■■=0.18。兩樣本均值假設(shè)檢驗程序代碼如下：##兩樣本方差已知的均值檢驗###

mean_test<-function（x， y，sigma1，sigma2）{

n1<-length（x） #X樣本數(shù)

n2<-length（y） #Y樣本數(shù)

xb<-mean（x） #X樣本均值

yb<-mean（y） #Y樣本均值

u<-（xb-yb）/sqrt（sigma1^2/n1+sigma2^2/n2） #計算U檢驗統(tǒng)計量

pp<-pnorm（u，0，1） #計算標準正態(tài)分布在u點的概率分布函數(shù)值

if（pp<1/2） P=2*pp #計算假設(shè)檢驗P值

else P=2*（1-pp）

data.frame（mean=xb-yb， U=u， p_vale=P）

}

X=c（0.84，1.05，1.20，1.20，1.39，1.53，1.67，1.80，1.87，

2.07，2.11） #輸入樣本值

Y=c（0.54，0.64，0.64，0.75，0.76，0.81，1.16，1.20，1.34，

1.35，1.48，1.56，1.87）

mean_test（X，Y，sqrt（0.17），sqrt（0.18）） #通過編寫的mean_test函數(shù)計算檢驗p值

運行結(jié)果

mean U p_vale

0.4362937 2.548825 0.01080866

從運行結(jié)果可以看出p-value<0.05，拒絕原假設(shè)，即該地區(qū)克山病患者與健康人的血磷值不同。

②假定σ■■=σ■■=σ■■未知，R軟件中提供了t.test（）進行兩樣本的假設(shè)檢驗和區(qū)間估計，關(guān)于t.test（）的用法以及功能可參見文獻[1]或者輸入help（t.test）。程序代碼為：t.test（X，Y，var.equal=TRUE）

運行結(jié)果

data： X and Y

t = 2.5237， df = 22， p-value = 0.01934

alternative hypothesis： true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval：

0.07776886 0.79481855

sample estimates：

mean of x mean of y

1.520909 1.084615

從運行結(jié)果可以看出p-value<0.05，仍拒絕原假設(shè)。

二、 探索與思考

在傳授專業(yè)知識的同時，不僅要使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的統(tǒng)計方法用統(tǒng)計軟件加以實現(xiàn)，增強學(xué)生的動手能力，而且應(yīng)該啟發(fā)同學(xué)去探索和思考，增強學(xué)生分析問題和解決問題的能力。通過對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中兩正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗問題的學(xué)習(xí)，可提出以下幾個問題讓學(xué)生去探索和思考：

1.當(dāng)σ■■≠σ■■且都未知時，是否可以構(gòu)造類似的t檢驗統(tǒng)計量：T=■.如果可以，在原假設(shè)成立時，檢驗統(tǒng)計量的分布是否仍然可以用t分布逼近，t分布的自由度是多少？該問題是著名的“Behrens-Fisher”問題（參見文獻[7]）。

2.當(dāng)σ■■已知，σ■■未知的情況在分析實際問題的時候會遇到，如舊藥與新藥療效的比較，通過先前的認知我們知道舊藥的方差信息，但是新藥的方差信息是完全不知道的，一個自然的想法就是用樣本方差代替，構(gòu)造如下檢驗統(tǒng)計量：T=■該檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)成立時的分布如何？

3.在解決實際問題時，常會遇到兩非正態(tài)總體均值的比較，對該類假設(shè)檢驗問題如何構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量以及在原假設(shè)成立的時候，構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量的分布如何？通過以上的問題，可以激發(fā)學(xué)生去探索解決問題的方法。在思考和探索的過程中，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

參考文獻：

[1]薛毅，陳立萍.統(tǒng)計建模與R軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[2]王星.非參數(shù)統(tǒng)計[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.

[3]程新，魏賽金，江莉.統(tǒng)計軟件R及其在《生物統(tǒng)計學(xué)》實驗教學(xué)中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計教育，2008，4（103）：29-31.

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[5]湯銀才.R語言與統(tǒng)計分析[M].北京：高等教育出版社，2005.

[6]黃志碧，梁秋萍.兩樣本均數(shù)比較的假設(shè)檢驗方法[J].廣西醫(yī)學(xué)，1998，20（5）：831-837.

[7]Scheffe，H.Practical solution of the Behrens-Fisher Problem[J].Journal of the American Statistical Association，1970，65：1501-1508.