圖式理論來給力，數學建模添活力

現代認知理論認為，圖式（Schema）是指圍繞某一主題組織起來的知識的表征和貯存方式，是認知的建筑材料（或“組塊”），是信息加工的的基本要素.瑞士著名的心理學家、教育家皮亞杰認為：人的認識的發展，不僅表現在知識的增加，更表現在認識結構的完善和發展，圖式的發展水平是人的認識發展水平的重要標志.在注重如何高效學習的今天，將圖式理論恰當地應用于數學教學，既符合學生的認知規律，又能幫助學生形成完整的知識結構，是一種提高教學效果的有效策略.

一、加強概念教學，豐富數學圖式儲備

“工欲善其事，必先利其器.”圖式理論指出：圖式不是變量的機械相加，而是按一定規律結合的有機整體，圖式的變量之間有相互約束的關系.數學的概念圖式由通俗的文字語言、簡約的數學符號、信息豐富的幾何圖形以及必要的框圖來組成.單純的定義、公式只是圖式的一部分.如果我們把解決問題需要的公式、概念性知識稱為知識基礎，那么圖式就是從這些支撐點出發并得到豐厚的認知模式.獲得較好圖式必須經過兩個階段：形成和精制.學生對數學概念的形成是一個從對數學現象和事實的感性認識出發，經過抽象、概括而達到對物質屬性和物質運動的理性認識的過程.它首先是建立在以往經驗的舊概念和新知識聯系的基礎上，然后通過新知識與原有數學概念的相互作用，構建新的數學概念.這一過程正是對原有的圖式的“同化”和“順應”的過程.例如 “函數”概念圖式的形成，首先是初中階段在認識了“代數式”和小學階段認識的“數式”這些原有圖式基礎上，通過同化“數式”這一概念圖式，類比得到“關系算式”的新圖式，從而使兩個變量間通過“關系算式”產生聯系，形成初步函數圖式概念；到了高中階段，認識了“對應關系”、“映射”后，對初中階段認識的函數概念進行調整、改造即所謂“順應”，最后形成函數是數集A到數集B的一個映射的新概念圖式.教學中，教師應當根據具體內容，精心設計或選擇有利于形成概念圖式的一些實例或演示實驗，透過現象揭示其本質，從而使學生形成完整的、正確的數學概念圖式.

二、學以致用，提高數學圖式的識別能力

要突出數學應用，就應站在構建數學模型的高度來認識并實施教學，要強調如何從實際問題中發現并抽象出數學問題（這是數學應用教育中最為重要的一點），然后試圖用已有的數學模型（如式、方程、不等式、函數、統計量等）來解決問題，最后用其結果來闡釋這個實際問題.教學中要著重培養學生能從實際問題中提出并表達數學問題的能力，運用并初步構建數學模型的能力，對數學問題及模型進行變換化歸的能力，對數學結果進行檢驗和評價、闡釋和處理的能力.這方面，我們可加強訓練，學以致用，提高數學圖式的獲取和構建數學模型的能力.

數學中的任何一個數、一個算式、一種運算、每個概念、公理、定理、法則和有關的數學模型，無一不是抽象、概括的結果.許多現實問題通過抽象、概括，可建立客觀事物的數學模型（即數學關系結構）來揭示事物的本質特征及規律.

我們在建模教學中，一方面要引導學生學會從觀察事物的現象中抽象概括出數學模型.例如：觀察下面有5個多面體，分別數出它們的頂點數V、面數F和棱數E，并填出下表.

觀察表中填出的各組數據，可抽象概括出簡單多面體的歐拉公式模型：V（頂點數）+F（面數）-E（棱數）=2.

另一方面要讓學生學會用數學模型揭示事物的因果性和規律性聯系.例如：為什么一杯糖水加點糖后變甜了？學生由化學知識了解到糖水變甜與糖的濃度有關，從變化前后的量中可抽象出一個不等式模型：若m>0，a

圖式理論促進了學生知識結構的完整建構與活化，能消減因知識難度增加所帶來的認知障礙，為數學建模增添了無限活力.在數學問題解決中，圖式策略使個體探究問題的張力擴大、指向性增強，可大大提高解決問題的效率.

責任編輯 羅 峰