計算課：“法”與“理”的世界

弗賴登塔爾認(rèn)為知識有兩類：程序性知識和思辨性知識。而計算規(guī)則顯然屬于前者，它的特點是行易知難，也就是做起來容易，懂得其道理難。因此在教學(xué)中通常會出現(xiàn)輕算理重算法的現(xiàn)象，筆者認(rèn)為這是不可取的。雖然學(xué)生知算理（尤其是由形式理解算理）有一定的難度，但算理能幫助學(xué)生形成計算技能。其實算理與算法本是有機統(tǒng)一的整體，重算法必須重算理，重算理也要重算法，實現(xiàn)算理與算法的融會貫通。

一、明算理引算法

案例一：小數(shù)加減法

出示情境圖，說明商品的價格。

師：3個小朋友各買了什么？你能提出用加法或減法計算的問題嗎？

生：小明和小麗共用了多少元？

列式：3.4+4.75。（板書：4.75+3.4）

生：小明比小麗多用了多少元？

列式：4.75-3.4。

生：小明和小芳一共用了多少錢？

列式：4.75+2.65。

生：小明比小芳多用了多少錢？

列式：4.75-2.65。

師：這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)小數(shù)的加法和減法。估算4.75+3.4大約等于多少？

生：大約是8。

師：你怎么想的？

生：4+3=7，7+4需要進位。

師：8的單位名稱是什么？

生：元。

師：怎么得到8元的？要求只列式不計算。這樣列式可以嗎？（有4位學(xué)生這樣列式）

板書：

生：可以。

師：為什么？

生：數(shù)位對齊。

生：整數(shù)部分對應(yīng)著整數(shù)部分，小數(shù)部分對應(yīng)著小數(shù)部分。

師：結(jié)合剛才兩位同學(xué)的發(fā)言，你能得出什么結(jié)論？

生齊：相同數(shù)位對齊！

師：怎樣才能做到相同數(shù)位對齊？

生：當(dāng)相同數(shù)位對齊時小數(shù)點也會對齊。

師：你準(zhǔn)備從哪個位算起？

生：從百分位算起。

師：也就是從低位算起。

小結(jié)：小數(shù)中小數(shù)點對齊就是為了使相同數(shù)位對齊，然后再從低位算起。

評析：本案例是小數(shù)加減法的計算課，其計算方法是相同數(shù)位對齊（即小數(shù)點對齊），其算理是只有計數(shù)單位相同的才能直接相加減。本節(jié)課的教學(xué)重點是小數(shù)加減的計算方法，難點是理解算理，如何結(jié)合算理與算法正確計算？在教者的適時引導(dǎo)下，學(xué)生利用元角分對位相加的算法，將零散而模糊的思緒逐漸演變成算法“相同數(shù)位對齊”、“從低位算起”。至此，小數(shù)加法的算理與算法都完整地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，學(xué)生們循“理”入“法”，順利學(xué)習(xí)新知。

二、以算理馭算法

案例二：小數(shù)乘法（二）

師出示情境圖，看圖提出問題。

生1：臥室的面積有多大？

生2：陽臺的面積有多大？

生3：臥室和書房有多大？

師：首先解決臥室面積有多大。

生：3.6×2.8。

師：你能估算嗎？

生：4×3=12。

師：算出的數(shù)比12大還是小？（小）還可以怎么估？

生：3×2=6。

生：結(jié)果應(yīng)在6～12之間。

學(xué)生列豎式計算，說明對齊方法是末尾對齊，這時出現(xiàn)了10.08和100.8兩種答案。

師：哪個估算結(jié)果正確呢？積究竟是一位小數(shù)，還是兩位小數(shù)。

生：每個數(shù)都擴大10倍，積就擴大100倍，要想得到正確的積，就要除以100，也就是把小數(shù)點向左移動兩位。

生：3.6米等于36分米，2.8米等于28分米，算出的積是1008平方分米，也就是10.08平方米。

小結(jié)：利用積的變化規(guī)律把小數(shù)乘小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘整數(shù)，再把積變成小數(shù)。

師：變成整數(shù)后，乘得的積是原來積的100倍，再把積除以100，算出原來的積。陽臺面積是多少？

列式：2.8×1.15。

師：你打算怎么計算？

生：看成28×115。

反饋：2.8×1.15=3.22（平方米）。

師：你是怎么思考的？

生：1.15看成115乘100，2.8看成28乘10，相當(dāng)于積乘1000。

小結(jié)：積擴大1000倍，要想得到原來的積，就要除以1000，也就是把積的小數(shù)點從右往左移動三位。

練習(xí)：在下面各題的積中點上小數(shù)點。

8.7×0.9=783 72.9×0.04=2916 16.5×0.6=990

重點觀察第2小題，第一個因數(shù)是一位小數(shù)，第二個因數(shù)是兩位小數(shù)，積就是三位小數(shù)。

討論：小數(shù)乘小數(shù)應(yīng)該怎樣計算？

生：看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。

小結(jié)：小數(shù)乘小數(shù)，先看成整數(shù)乘整數(shù)來計算，再看兩個因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。

評析：本案例中無論是估算結(jié)果，還是從米與分米、平方米與平方分米的進率，或從積的變化規(guī)律來解釋結(jié)果的正確性，無不在用算理駕馭著算法。因為兩個因數(shù)先乘多少，還原成原來的積還要除以多少（算理），所以才有了“小數(shù)乘小數(shù)，先看成整數(shù)乘整數(shù)來計算，再看兩個因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點”這一計算方法。換言之，“法”以“理”為據(jù)，在理解了算理的基礎(chǔ)上，掌握算法就成為易事，而且?guī)椭鷮W(xué)生實現(xiàn)了意義建構(gòu)，便于學(xué)生融會貫通。

三、隱算理強算法

案例三：《小數(shù)加減法》的練習(xí)片段

試做4.75-3.4，指名板演。

師：說說你的做法。

生：在3.4后先添上0，這樣容易看出相同數(shù)位對齊，從低位減起。

學(xué)生練習(xí)：4.75+2.65，4.75-2.65。

討論：小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的異同。

生：都要相同數(shù)位對齊，從低位算起。

師：有什么注意點？

生：注意小數(shù)點對齊，得數(shù)末尾有0的要化簡。

練習(xí)：24+9.9。

有一個學(xué)生說24末尾先添0，添上小數(shù)點，再計算比較方便。（為小數(shù)減法退位的情況作好鋪墊）

評析：計算課的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生的運算能力。在有限的課堂學(xué)習(xí)時間內(nèi)，為達(dá)成這一最終目標(biāo)，大多數(shù)教師會在鞏固練習(xí)期間選擇隱算理強算法，用足課內(nèi)時間強化算法。當(dāng)然也會對部分學(xué)生易錯或有疑惑的習(xí)題通過回顧算理的方法解釋算法的正確性。這也與程序性知識“行易知難”的特征密切相關(guān)，總有學(xué)生會計算但卻很難表達(dá)出算理。當(dāng)然，在隱算理的過程中要注意把握算理與算法的平衡點，否則“理”被隱得太深，當(dāng)教者想要挖掘時已經(jīng)難以找尋了。隱只是暫時的，它也可以隱于思維之中，但最終還是要通過對算法的熟練掌握實現(xiàn)對算理的“形式理解”。

數(shù)學(xué)計算課，無論是明算理引算法，還是以算理馭算法，或是隱算理強算法，均表明計算課是算理與算法的完美結(jié)合，“法”和“理”本為一體，在技能未形成時，理是顯性的，是法的導(dǎo)航明燈；當(dāng)技能形成之時，理則悄然隱身，藏于法中。在法與理的世界中，學(xué)生易于構(gòu)建知識體系，擁有“運算能力”。■

（作者單位：江蘇省無錫市稻香實驗小學(xué)）