突出模型思想 滲透建模教學(xué)

乘法分配律一直是小學(xué)階段必學(xué)必教的內(nèi)容。蘇教版教材從購買“成套”衣服的生活情境入手，在產(chǎn)生分開算與合起來算這兩種方法后建立了等式，依此展開對乘法分配律的探究。這種編排和以前的教材相差不大。有所不同的是，現(xiàn)在有些版本的教材中不再出現(xiàn)乘法分配律的文字表述。這在某種程度上體現(xiàn)出小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)（包括定律、規(guī)律等）重在對概念本質(zhì)的理解，而不拘泥于文字語句的新走向。此外，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂時(shí)將核心詞從6個變?yōu)?0個，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會數(shù)學(xué)思考，要學(xué)“好吃又有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)……這些要求都給這一教學(xué)內(nèi)容帶來新的生機(jī)，這也是在當(dāng)前背景下開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的重要參照。

當(dāng)然，一節(jié)課的時(shí)間、空間都很有限，我們只能有選擇、有重點(diǎn)地表達(dá)一個或幾個教學(xué)理解與思考。整體看來，“突出模型思想，滲透建模教學(xué)”的理念在乘法分配律的教學(xué)中非常值得“玩味”。圍繞這一理念，筆者對乘法分配律的教學(xué)作如下異構(gòu)。

一、談話引入

孩子們，今天的學(xué)習(xí)我們將邀請老大、老二和老三這兄弟三人參加。他們都是種菜的能手，巧得很，他們的菜地都是長方形。說到這里，你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識？

【“短平快”的談話即時(shí)引發(fā)學(xué)生與原有知識的鏈接，喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，開放式聯(lián)想也給整堂課的學(xué)習(xí)定下了基調(diào)。】

二、感受模型

1.出示老大的菜地圖。

（1）看到老大的菜地，你能提出有關(guān)面積計(jì)算的問題嗎？

（2）列綜合算式計(jì)算兩塊地的總面積。

（3）交流算法，板書列分開算和合起來算兩種不同思路的算式。

（4）比較得數(shù)，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9

【提出問題是本課學(xué)習(xí)的引子，基于已有水平，學(xué)生一般會提出“面積和”與“面積差”的問題。由于兩塊菜地都有一條相同長度的邊，兩個長方形就能直接拼成一個大長方形，因而學(xué)生計(jì)算面積總和時(shí)分開算與合起來算的思路容易形成，建立等式的同時(shí)將分與合的兩種思路建立了聯(lián)系。】

2.研究老二菜地的總面積。

（1）列式計(jì)算兩塊地一共的面積。

（2）追問：為什么不合起來算了？

【老二的兩塊菜地因?yàn)闆]有相同長度的邊，兩個圖形不能直接拼成大長方形，數(shù)據(jù)的變化引發(fā)學(xué)生對圖形特征的關(guān)注。】

3.研究老三菜地的總面積。

（1）獨(dú)立練習(xí)，列式計(jì)算。

（2）反饋交流分、合（上下相拼）兩種思路。

（3）計(jì)算并建立等式：（8+3）×6=8×6+3×6

（4）追問：老大、老三的菜地總面積既可以分開算又可以合起來算的根本原因是什么？

【本環(huán)節(jié)用核心問題引領(lǐng)，以追問方式展開，三次面積和計(jì)算目標(biāo)各有指向。在經(jīng)歷了初步感受、思維沖突和前后比較后，學(xué)生能體會并理解分開算就是先算兩個長方形的面積，合起來算就是計(jì)算拼起來的大長方形的面積。如此，抽象的算式便有了幾何直觀的形象支撐，算式的結(jié)構(gòu)特征也就一目了然，理解也就輕松容易。】

三、建立模型

1.自建模型。

（1）根據(jù)算式在方格紙上畫出相應(yīng)的圖形。

兩塊長方形青菜地總面積：7×3+5×3

兩塊長方形玉米地總面積：（6+4）×5

（2）學(xué)生展示、解讀圖形中的數(shù)據(jù)。

（3）展開聯(lián)想，建立等式：（7+5）×3=7×3+5×3

（3）展開聯(lián)想，建立等式：（6+4）×5=6×5+4×5

【如果說從圖形到算式是建立等式、發(fā)生聯(lián)系的過程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，那么從算式追溯圖形讓學(xué)生將具有“分”“合”特征的算式“幻想”成兩個有相同長度邊的長方形，則是“逼”學(xué)生嘗試建立“圖形模型”的過程，是將數(shù)學(xué)認(rèn)識從具體經(jīng)驗(yàn)向理性層面提升的過程。】

2.驗(yàn)證說明。

上面的幾組算式左右都相等，這是偶然的現(xiàn)象，還是必然的事情？你還能舉出更多這樣的例子嗎？

學(xué)生匯報(bào)自己的例子后，追問：這樣的例子到底能寫多少呢？會不會有不符合的例子偏偏我們大家都沒有舉出來？怎么來解釋它們左右是必然相等的？（聯(lián)系乘法的意義）

3.抽象概括。

根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能用一個等式將這里所有的等式都包含進(jìn)去嗎？

得出：（a+b）×c=a×c+b×c。提示：字母符號是數(shù)學(xué)的特殊語言，非常簡潔且世界通用。

4.揭示課題。

5.解釋模型。

（a+b）×c=a×c+b×c也可以看成兩個長方形的面積和嗎？（出示圖形）如果它是甲、乙兩個長方形的面積和，那a、b、c分別是圖中哪里的長度？

【通過舉例驗(yàn)證、解釋說明，學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)了抽象與概括，用字母表示乘法分配律也就“呼之欲出”。從建立模型的角度出發(fā)，學(xué)習(xí)至此并沒有結(jié)束，特別設(shè)置的根據(jù)字母等式聯(lián)想圖形、在圖形中解釋模型的環(huán)節(jié)把學(xué)生的認(rèn)識再次推向深入。】

四、應(yīng)用模型

1.算式聯(lián)想。

（1）34×10+10×66 （2）74×（20+1）

（3）（100+m）×n （4）35×35+20×40

分析：離開圖形，進(jìn)行算式聯(lián)想，是對乘法分配律理解的即時(shí)檢測，也是更高水平的數(shù)學(xué)思考。第（4）題雖有相同的因數(shù)，但所在位置不一樣，是不能直接合并的變式，進(jìn)一步強(qiáng)化乘法分配律的特征。實(shí)際教學(xué)中，還可以引導(dǎo)學(xué)生再次借助于“長方形”輔助思考，即一個正方形和一個沒有相等邊的長方形不能直接拼合，在深層次的思考中進(jìn)一步理解乘法分配律的本質(zhì)。

2.豐富拓展。

借助于兩個長方形面積和的計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)了乘法分配律，那么像（8+3）×6=8×6+3×6（老三菜地的總面積）這樣的算式是不是只能用兩個長方形的面積和來解釋？能用其他事情來解釋嗎？請把等式中的數(shù)填到下面的括號里：

一本故事書（ ）元，一本科技書（ ）元，買（ ）本故事書和（ ）本科技書一共要付多少元？

學(xué)生講述自己填寫的數(shù)據(jù)及具體含義后，再變換“買書”的故事情節(jié)，用其他事情來解釋。

【數(shù)學(xué)中的“模型”，是普遍適用性和豐富多樣性的統(tǒng)一。此處安排一個條件開放題，最大可能地開發(fā)學(xué)生的思維：無論是把兩種書的單價(jià)設(shè)為相同，還是把它的數(shù)量設(shè)為相同，抑或一單價(jià)和一數(shù)量相同，等式兩邊有實(shí)際意義即可。“還可以用其他事情來解釋嗎”則把學(xué)生的思維引向更廣闊的天地，充分感受數(shù)學(xué)的豐富和簡約。】

五、回望解讀

其實(shí)，我們今天并不是第一次接觸乘法分配律，在以前的學(xué)習(xí)中就多次碰到。回顧課本中口算、豎式計(jì)算、長方形周長計(jì)算等運(yùn)用到乘法分配律的例子。

六、發(fā)散聯(lián)想

1.解決課始學(xué)生提出的老大菜地的面積差，體會到乘法分配律同樣適用于乘法對減法的分配。如果用字母表示，可以怎么寫？

2.老大確實(shí)是種菜的能手，最近他又?jǐn)U建了一塊辣椒地（在原圖上加上一個長9m、寬5m的長方形），怎么算現(xiàn)在菜地的總面積？由從兩個數(shù)的和聯(lián)想到三個數(shù)甚至于更多數(shù)的和與一個數(shù)相乘。

【聯(lián)想孕育著數(shù)學(xué)思維與推理，充滿著數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與驚喜。通過聯(lián)想，乘法分配律在學(xué)生眼中進(jìn)一步立體和豐滿起來。】

【總評】

本課以“有一條邊相等的兩個長方形面積之和”的素材為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題到類比推理，再到建立模型、解釋模型的過程，充分感受模型思想。在其后的豐富拓展中不斷賦予模型“生長”的力量，讓乘法分配律的模型既根植于圖形，又不拘泥于圖形，使得用字母表達(dá)的乘法分配律有了“豐腴”之美。本課還力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的簡約追求，把簡單的素材用好、用足，既避免素材更替中的過多干擾，又發(fā)揮“四兩撥千斤”的效應(yīng)。當(dāng)然，無論是何種素材的選用，何種方式的展開，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，把握數(shù)學(xué)的學(xué)科特質(zhì)，尋求兒童學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)知識的最佳契合點(diǎn)，是我們應(yīng)該遵守的基本原則。

（作者單位：江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）