如何在算術教學中也教授代數思維

“準變量及其思維”的核心旨在鼓勵小學數學教師在教學算術的同時，也教授學生代數思維，但卻不提倡直接教授代數。因此，我們首先就需要理解并區分代數與代數思維。

一、代數思維

毫無疑問，代數離不開字母。也就是說，如果沒有“字母代數”，也就不會更不可能產生代數這一數學分支。但是，代數思維卻未必需要“字母”，因為代數思維的核心是“分析之后的概括”，而非字母本身。譬如，在《幾何原本》中，歐幾里得就使用了字母，但卻沒有代數觀念的運用；而在《九章算術》中，中國人早就運用了代數的觀念來求解方程，但卻沒有使用字母。這是否就可以表明，代數思維的產生與發展其實是在“字母代數”之前？也就是說，我們是否可以也應該在算術教學中來培養小學生的代數思維？

為解決小學生代數思維的發展問題，在長期研究的基礎上，路易斯·拉弗德（Luis Radford）首先分析了思維及其發展問題，然后以此為依據探討了代數思維的特征。

首先，思維是一個“物質——想象”的動態系統。因為思維是一種復雜的反省形式：“思維不是某些僅僅發生在‘大腦’里的東西。可以把思維看作是由物質與想象這兩種成分所構成：它包括內在與外在的語言，感官想象的客觀形式（譬如，手勢與觸覺），以及文化驅動下我們的行動。”也即“思維是一個‘想象——物質’的混合體，不僅僅出現在大腦中，也通過并呈現為言語、身體、姿勢、符號和工具的協調”。因此，要研究思維的發展就必須整體地考察思維的“物質——想象”這一動態系統。

其次，代數思維的特征是“分析之后的概括”。沒有分析的概括可能僅僅只是“嘗試與猜測”的結果，而沒有概括的分析可能僅僅只是“數量之間關系”的記憶。譬如，在教授解形如“ax+b=c”這樣的一元一次方程時的算術分析（加減運算、乘除運算的互逆：和減去一個加數就等于另一個加數，而積除以一個因數就等于另一個因數，從而求解一元一次方程。）就極有可能只是一個“三量”關系的記憶。再譬如，在教授解形如“ax+b=cx+d”這樣的一元一次方程時，只憑借“嘗試與猜測”就不可能會得到“求解公式”，而只能運用推理分析才有可能得到。但是，盡管字母符號有利于我們進行一般性表達的轉換，但對代數思維而言，字母符號既不是必要條件也不是充分條件：除字母之外，我們還有許多其他符號系統能夠表達代數思維，譬如，自然語言、圖形、手勢、行為與節奏等。也就是說，在算術學習中，學生往往可以也會經常使用上述其他符號系統來表達他們自己的思考過程，而這些思考過程是極有可能富含代數思維特征的。譬如，當小學二年級學生運用自然語言說出計算“71-54”的如下過程時就有了代數思維的萌芽：71-54=（70-50）-（4-1）。因此，我們不能把代數思維簡化為“以字母為主宰的”活動。

二、案例剖析

拉弗德不僅擅長于理論分析，而且還開展了長達5年的課堂跟蹤與觀察研究。譬如，在其課堂跟蹤與觀察中，就有這樣一個二年級小學生所面臨的問題：

（1）請畫出該序列的第5項與第6項；

（2）請想辦法求出該序列中第12項與第25項正方形的個數，第50項、第100項呢？

（3）請問：對于任意一個不確定的項，有多少個正方形（換句話說，正方形個數與項數之間有什么關系）？

拉弗德認為，如果一個學生在計算第100項正方形的個數時，運用了“3加2再加2一直加到第100項”（即3后面連續加99個2）這一“算法”，那么這僅僅是一種算術的歸納，而非代數的，因為這里面沒有分析性思維，即沒有對不確定的量（第n項）與圖形中所蘊含的關系進行分析。其實，這其中是有分析的：3后面連續加99個2（一種模式、一個規律），只是沒有“分析之后的概括”：3+（100-1）×2（準變量表達式）。因此，我們認為，盡管這里沒有“代數思維”，但卻蘊含著“代數思維的萌芽”。

有研究者把上述問題改造后在我們的小學二年級也進行了嘗試：

（1）第5項有多少個小方塊？

（2）第6項有多少個小方塊？

（3）第25項有多少個小方塊？

（4）你能想辦法概括出一個規律嗎？

通過分析學生作業與對話交流，該研究者得出了與拉弗德一樣的結論：學生依據“3、5、7、9……”的觀察而得出第5項有11個小方塊、第6項有13個小方塊時，學生沒有表現出代數思維甚至代數思維的萌芽。但我們認為，這里盡管沒有明顯的代數思維，但一定蘊含著“代數思維的萌芽”：3，3+（2-1）×2，3+（3-1）×2，3+（4-1）×2，3+（5-1）×2，3+（6-1）×2（準變量表達式）。在這里，小括號中的“2、3、4、5、6……”就起到了“變量”（即不確定的量，也即“項數”）的作用。

但是，該研究者在分析學生得出第25項小方塊個數時卻得出了截然相反的看法：由學生的“4+9的話……就是25+26”，以及隨后的對話分析（“下面這行小方塊的個數和項數是一樣的，但是上面就比項數多1個小方塊”），便認為，“此時，學生開始關注圖形排列中的結構，并且與不確定的項數發生了聯系。進一步，學生運用語言歸納出了一般規律，并沒有使用字母符號，但他顯然進行了代數的思維。”其實，這里同樣是準變量思維：4+（4+1）……25+（25+1）……由此可見，同樣的問題，不同的分析就會有“不同分析之后的不同概括”，更有其不同的思考過程，但都可以是“代數思維的萌芽”。那么，在小學數學教學中，我們究竟應該如何來培養學生的代數思維呢？

三、教學建議

通過上述理論分析與案例剖析，我們可以做出如下推斷：在小學數學教學（包括低年段教學）中，我們不僅可以而且應該培養孩子們的代數思維。

首先，我們應該轉變觀念，不應認為“只有‘字母代數’之后才會有代數思維”。所以，我們需要習慣于運用“代數的耳朵與眼睛”來思考算術及其問題，挖掘其中的“代數思維的萌芽”，既展現其“算術的程序或步驟”，也呈現其“代數的關系或結構”。

其次，學生的代數思維過程可以有多種表達形式。譬如，言語的、非言語的（如，手勢、姿勢、眼神、節奏等），符號語言的、自然語言的，實際行動，等等。所以，我們不能僅僅局限于“字母代數”，而更要習慣于“數字代數”中的關系與結構。

再次，我們需要對學生的思考過程進行細致的觀察與分析，并捕捉其思考過程中的“代數思維的萌芽”，而無需過早地把這“萌芽”帶入“抽象的符號世界”。因為“算術的程序思維”與“代數的關系思維”之間需要中介過渡，而“準變量思維”就是這中介過渡。

最后，盡管我們提倡、鼓勵培養學生的代數思維，但我們也不能用準變量思維來代替算術思維，更不能用代數思維來取代準變量思維。因為數學思維的發展都是由低級向高級逐步演變而來，盡管不存在絕對的“線性關系”，但要超越其發展的某個特定階段卻是很難的。而大量的初中代數“入門學習”的不適現象就是最好的證明。

因此，在小學算術教學中也教授代數思維的關鍵是，既要把握好算術與算術思維、代數與代數思維之間的區別，更要把握好算術思維、準變量思維與代數思維之間的動態關聯：算術思維是常量（即確定的量）與程序思維、代數思維是變量（即不確定的量）與關系思維，而準變量思維則是關于“變化的數”（即，就“變化”而言，是不確定的；而就“數”而言，又是確定的）及其關系的思維。

【參考文獻】

[1]Luis Radford.Early Algebraic Thinking Epistemological，Semiotic，and Developmental Issues[R].Seoul：ICME（the International Conference on Mathematics Education）-12，RL3-12，2012.

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[5]（英）朱莉婭·安吉萊瑞.如何培養學生的數感[M].徐文彬，譯.北京：北京師范大學出版社，2007.

（作者單位：南京師范大學課程與教學研究所）