瑞典非政府教育改革項目“身體與靈魂”的分析與啟示

李紅玲

（1．首都師范大學 數學科學學院，北京 100048；2．宿遷學院 教師教育系，江蘇 宿遷 223800）

教材是教學的依據，教材建設的成功與否對教學質量起到一定程度的提升或制約作用．中國大學教材建設在近代歷經編印講義、引進國外原版教材到本土化教材的發展歷程，并呈現由民間自主編印到國家統一出版的趨勢．近代大學教材發展所呈現出的這種特點既受當時政治經濟文化等因素的影響，又受教育自身發展規律的制約．當前，在高等教育迅猛發展的新時期，大學教材建設顯得尤為迫切[1]．以數學為例，中國高校數學教材的建設存在一些不容樂觀的現象：每年都有大量嶄新的教材出現，但是教材內容卻鮮有變化，趨于穩定狀態．各類教材的內容是否已經完善到適應不同層次教學的要求了呢？實踐研究發現，已有教材仍然存在一些針對性不足的問題：國內名校的數學教材基于純粹理論知識編寫，對地方高校而言顯得內容偏難、脫離實際；文科數學教材由理工科教材轉型而來，導致其難度偏深、形式單一、缺乏數學文化的合理有機滲透；高職教材改自本專科院校教材，存在內容陳舊、現代信息技術吸收不足、與專業培養目標斷裂、人文素質內容欠缺等問題[2～5]．《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》中提出：“信息技術對教育發展具有革命性的影響，必須予以高度重視．把教育信息化納入國家信息化發展整體戰略，超前部署教育信息網絡．到2020年，基本建成覆蓋城鄉各級各類學校的教育信息化體系，促進教育內容、教學手段和方法現代化”，還提到：要“加強課程教材建設”“深化教學改革”，并且明確提到要“改革教學內容”．教學內容該如何進行改革，如何使得教學內容現代化，這是眾人關注的焦點．他山之石，可以攻玉，下面根據對瑞典非政府教育改革項目“身體與靈魂”的分析來尋找啟發．

1 “身體與靈魂”項目的背景與緣起

自18世紀末到20世紀中期，瑞典由一個貧窮落后的小國一躍成為世界上最富有的國家之一，在全球科技和經濟等領域都具有舉足輕重的地位．這一切在很大程度上要歸功于瑞典一直高度重視教育．進入20世紀以來，瑞典的教育事業經歷了幾次較大的改革．除了政府在不斷地進行教育改革之外，一些非政府學術組織也致力于教育改革與實踐．由于不受政府政治經濟等框架的約束，學術組織往往是從純學術的角度來進行改革實踐，所以比政府的教育改革更具學術性與獨立性．

從計算機發明至今，人們的生活與工作都隨之產生了革命性的變化，可是教育系統卻對此反應遲鈍，由此造成與社會的脫節．2003年1月23日，瑞典政府建立了數學代表團，目的是分析瑞典教學的現狀．2004年5月28日，數學代表團遞交了分析報告，可是結論中沒有提到數學教育中存在的危機，也沒有提到因計算機的發展而造成的數學的變化．這與Claes Johnson的觀點截然相反．

Claes Johnson是瑞典斯德哥爾摩皇家技術學院的應用數學教授，碩果累累著作等身．他曾長期進行計算數學方面的科學研究工作，致力于制定出一個一般方法來解微分方程．就如同站到山頂回首來時路才一目了然地發現有更好的攀登路徑一樣，當他站到應用數學的高峰上俯視基礎數學后，發現了更方便、更高效、更合適的知識路徑，當即決定對基礎數學進行重新編排以助后人．于是轉身投入數學教育，組建團隊，將計算數學與微積分、線性代數等基礎學科融會貫通，做出了“身體與靈魂”項目．并從1999年的秋季，在哥德堡市的查莫斯大學對學生進行教學實驗．他的觀點是：整個教育系統中的關鍵原則在于教育是以科學為基礎，因此現在的教育應該是建立在現代科學基礎之上的．而如今標準數學教育的科學依據建立于19世紀，是在20世紀中葉發明計算機之前．計算機現在正改變著科學、工程學和社會對數學的使用．因此，現在的數學教育與現在的科學之間存在脫節，需要進行改革，這是一場基于計算數學的信息革命．

針對數學代表團的結論，Claes Johnson及其合作者們在《瑞典日報》上發表多篇文章進行深度剖析，討論是否需要進行數學教育改革．與此同時，他們大力推廣“身體與靈魂”項目，以具體的實踐來對數學教育改革進行探索[6]．

2 “身體與靈魂”項目的內容和特點及其本質

“身體與靈魂”項目的目標是雙重的：首先，要證明計算機正在以一種深刻的方式改變著數學，因此數學教育改革勢在必行；其次，對于如何進行改革，該項目給出了積極的探索與討論．它提供的是既容易理解又有用的數學．

2.1 內 容

法國寓言詩人拉封丹說過：“寓言可以分為身體與靈魂兩部分，所述的故事好比是身體，而給予人們的教育就好比是靈魂．”通常在教學中，會將所教的內容比作是身體，將思想方法比作是靈魂．而在“身體與靈魂”項目中，第一層的意思：“身體”指的是計算數學，“靈魂”指的是符號數學，要將身體與靈魂合二為一，就是要將計算機算法與經典的符號數學有機地合成．第二層的意思：將“身體”視為計算機，將“靈魂”視為大腦，用大腦去建立方程，用計算機來解方程．既充分使用自身的思考分析能力，又充分利用計算機的先進計算優勢，珠聯璧合、相得益彰．

“身體與靈魂”項目內容包含書籍、軟件與教育材料．最新版的書籍Body and Soul Mathematical Simulation Technology Draft[7]中包含16部分的內容．第一部分是前言引入，作者對國家存在的數學危機以及無人負責的狀態進行了描述，分析了危機存在的原因——計算機的迅猛發展與數學知識長期未作更新之間的矛盾，并給出了對策——數學教育改革勢在必行，必須使得數學滿足計算機時代的要求．其他15部分分別介紹了牛頓力學、微積分、解析幾何、微分方程、有限元等知識，其中第三部分應用計算數學與牛頓力學的知識共同設計虛擬游戲，對球的撞擊、鐘擺運動、自行車行駛、飛行器設計等進行分析探討．第十部分給出了飛行、航行、跳躍、射擊、聲腔、氣候預測這幾方面的模擬器，并在第十一部分中專門給出了這幾方面的具體數值模擬技術：公式、推理等知識點．第十六部分的頭腦風暴中討論了洛倫茲方程與混沌本質，并對太陽系中 9大星座進行了探討研究．在正文中，作者采用建構的方式、使用生動的實驗、通過有趣的言論、綜合地呈現出一個個知識點，將數學知識與計算機應用緊密地結合起來，將數學中的游戲娛樂、美學欣賞、哲學思考、實用價值探索等因素完美地結合為一體，用具體的實踐指出了教育改革的新方向．

2.2 特 點

首先，思想新穎，內容綜合，主線鮮明．該項目奠基于數學、計算機與應用，它將數學與計算機有機合成，開啟了數學教學的應用程序，給出了現代數學方法在力學、物理學、化學和應用學科等方面有效應用的基礎．計算數學可以將簡單的代數方程拓展到一般的微分方程，使得原本只對特定人群有意義的數學練習轉化為對很多人有益的活動．同時，計算數學是建構交互式虛擬世界的一個有效工具，科學領域可以看作是由科學家創建的虛擬世界，并被用來從中發現真實世界的真理．這與中國科學大師錢學森先生的“大成智慧學”有著相通之處．錢先生提出，在以信息革命為先導的“第五次產業革命”的浪潮中，應當充分利用高科技，特別是電子信息技術進行教育，實現智能的集成和飛躍，使21世紀的中國人能在第五次產業革命和世界社會形態中發揮作用．錢先生還提出人才必備條件包含“熟悉信息網絡，善于用電子計算機處理知識”[8]．可見，中西方有識之士所見略同：利用計算機，將復雜的知識進行簡單化的分解計算，將高深的知識轉化成大眾化的應用．

其次，建構方法，提倡思考，注重實踐．該項目從學生的角度考慮問題，著重于提供可理解的數學，所以多是跟隨原創者的腳步、探索發現之旅，建構性地給出定義和定理．其目的是讓學生掌握如何從一些非常基本的事實中發展出數學理論來，讓學生擁有解釋建構性思路的能力．這個過程中就需要學生對事實進行質問，從而加強其洞察力的發展．例如，在無窮級數中，介紹到“阿基里斯追龜悖論”．首先以故事的形式給出該悖論，吸引興趣，引發思考；然后給出相應的實驗和游戲，讓學生在動手操作的過程中有所悟；最后才給出數學的嚴謹論證．又如解析幾何部分，用2R的坐標系來研究歐幾里得平面中解析幾何的基本知識，跟隨笛卡爾的基本思路使用數組來描述幾何．

馬丁·路德金曾經說過：“教育的功能就是教會人們深入地思考和批判性地思考”，該項目就致力于引導學生去思考、去質疑，作者對讀者的要求是：閱讀課本，并質疑課本！例如，常規的教科書會將積分解釋為面積，而該項目中對此提出質疑，認為：不是所有的積分都可以看做面積，這種把新概念用大家熟悉的東西來解釋的教育觀點，從數學角度來看是值得質疑的．所以它采取的是將積分解釋為初值問題的解，這對所有的積分都成立．

該項目注重學生的實踐能力，多有設計實驗和游戲環節．其中第十部分就是模擬器章節，游戲世界中的模擬大多基于粒子—物質模型，該部分將之擴大到微分方程模型，給出了飛行、航行、跳躍、射擊、聲腔、氣候預測這幾方面的模擬器，并在第十一部分中專門給出了這幾方面的具體數值模擬技術：公式、推理等知識點．根據約翰·赫伊津哈在《游戲的人》中提倡的多游戲思想，該項目在一些專業的內容后面追加作者所設計的小游戲，如彈性球運動游戲、計算競賽游戲等，寓教于樂，讓讀者在動手動腦的游戲中得到知識與快樂．該項目將內容整合于網絡平臺上，將之描述為學生與老師和教學資料來打不同電腦游戲的互動數值模擬的新形式，就像是關于如何建構游戲的一個游戲．美國著名數學科普作家馬丁·加德納曾經作過這樣的評價：“喚醒學生的最好方法是向他們提供有吸引力的數學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西．”游戲可以使任何水平的學生都從自己的最佳觀測點面對每一個題材．這樣，學生除了學到數學內容、體驗數學的思維方式之外，還可以培養正確的學習態度：不同的思路、創造、動力、興趣、熱情、喜悅……[9]

最后，趣味穿插，涉及廣泛，例證鮮活．該項目覆蓋面廣，且趣味性很強．幾乎在每章內容的開頭都有各式格言，旁征博引，五花八門，引發讀者的哲學思考．有音樂家查理·明格斯的“把簡單的東西復雜化，這是平庸；把復雜的東西簡單化，則是創新”，有數學家笛卡爾的“我疑故我思，我思故我在”，有緬甸政治家昂山素季的政治主見，還有小熊維尼童話書中的句摘．這些格言言簡意賅、含義深刻并引人深思，既對下面的內容有了點化，同時也讓學生有了思考與感悟．每章都含有幽默插圖，視頻截圖或者數學家圖片．內容中也常引用各種社會著名事件，比如畢達哥拉斯學派的門事件，20世紀70年代美國發生的水門事件，2009年11月發生的氣候門事件．內容中還有很多前沿知識，比如探討全球變暖問題，飛行的秘密以及千禧七大難題之一的納維—斯托克斯方程等．這些內容的穿插，將書本的知識與現實的鮮活事件緊密聯系了起來，使得知識更具有時代特征．

2.3 本 質

究其本質，可知“身體與靈魂”項目體現的是對基礎數學知識教材的與時俱進的完善．萬事萬物都是在不斷地變化與發展當中，科學也不例外．因此，要用發展的觀點來面對科學，除了對前沿科學的不斷延伸拓展之外，同樣也要用發展的觀點來審視基礎數學知識．真理的內涵是不變的，但是隨著外界的變化，對真理的解讀與應用方式是與時俱進的．面對傳統與經典，想要更好地繼承其思想精髓，就需要合適的解讀與應用方式．基礎數學知識的思想精髓是不變的，但是它的解讀與應用方式是需要改變的，以便于今人更好地理解與掌握．在科學快速發展的現狀下，對知識的介紹方式已經有了順應潮流的變化——從曾經的一筆一劃的板書，變化為文圖并茂的教學課件展示；同樣地，對知識的解讀與應用方式也應該有與時俱進的變化——將知識與計算機聯系起來，通過對計算機的使用，更好地掌握和應用基礎知識．

3 對中國數學教材建設的啟示

研究表明，學生的數學傾聽能力成為影響學生數學學習效果的主要原因，目前大學生在數學傾聽方面缺乏傾聽動機，這就需要教學者激發學生傾聽的動機，提高學生的學習興趣[10]．如果學習內容與社會脫節，學生又如何能有學習興趣呢？所以，教材建設應注意到教材的時代性、實用性與聯系性．下面以“高等數學”科目為例，一一進行詳細闡述．

3.1 與時俱進 加強教材的時代性

教材要適應社會的發展、學科的發展和科技的發展，它的內容應該具有時代特征，要體現出科學發展對其的影響，要有對學科前沿的介紹和聯系．有學者提出，當前中國大學的現代數學教育存在幾個誤區，第一個就是“大學數學專業開設的現代數學課程課時太少，非數學專業的數學課程幾乎與現代數學不沾邊”[11]．放眼看去，各種版本的非數學專業的數學課程教材——高等數學、線性代數、概率統計等，大部分內容都是沿襲了經典教材，鮮有改變．其實，社會每天都在發生變化，尤其是計算機的發明，使得社會發生了飛速的變化，也相應推動了數學的發展．可是在經典數學教材中卻沒有因此產生任何變化，這就使得教材缺乏時代性．經典固然是教育工作者應該堅持追隨的，但同時也應該有與時俱進的完善．以導數為例，由瞬時速度引出以比值的極限形式給出的導數概念，由平面圖形的面積經過分割、近似代替、求和、取極限4個步驟得到定積分的定義，這些定義形式已經是數百年的經典，但因其復雜性而頗為詬病．對此，有學者們迎難而上，通過測試和調查，分析學生在學習極限理論、掌握其語言表述和理解邏輯關系時存在的認知障礙[12]；在此基礎上，采取感性與理性相結合、理論與實踐相結合、傳統與現代相結合等“9個結合”的綜合方法來破解極限定義教學難題[13]．除了直接面對之外，近幾十年的科研發展也給出了其它方式的定義形式可供選擇，如張景中院士提出由“瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小”出發利用不等式給出的導數與積分定義[14]，林群院士提出由曲線求高出發用等式給出的導數與積分定義[15]，“身體與靈魂”項目中由微分方程求解給出的導數與積分定義等．所以，教材建設者要精選教材內容，增強其與社會進步、科技發展及學生經驗的聯系，拓展視野，加強教材的時代特征．

3.2 學以致用 增加教材的實用性

教材內容應該具有實用性，要添加指導學習者利用知識的實踐，把知識技能的學習與學生創新精神和實踐能力的培養有機結合起來．中國目前的教材內容就因為缺乏應用性，導致存在知識無活力化的問題．所謂知識無活力化，就是由傳統的灌輸式教學模式導致的大學生被動學習且不能將所學的科學文化知識使用于實際以解決實際問題的現象[16]．知識無活力化導致了學生缺乏學以致用的能力．教育在應用中的不協調造成社會中所謂的“高分低能”以及“學習無用論”等現象，相當一部分是緣于高等教育太偏向于理論，與實際脫節嚴重．美國數學史家、數學家 M·克萊因指出：“數學學科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物．”[17]中國的大學數學教材偏重于介紹經典的靈巧的知識，以定積分計算為例，教材中花大量篇幅介紹定積分的換元積分法、分部積分法以及微分方程的各種求解技巧等．這些知識巧則巧矣，但不是通用的方法，其針對范圍不廣，不能解決所有的問題．它們更大的作用不是解決問題，而是鍛煉學生的思維能力．其實，并非所有學生都會去從事需要很深奧的數學知識的工作，單就直接應用數學的角度而言，不必每個學生都學習很高深的數學理論[18]．所以學生除了要掌握這些經典的知識來修煉思維之外，更需要學習通用的方法來解決問題．而這通用的方法恰恰是計算機能夠完成的．任給一個方程，都可以利用算法，得到一定誤差范圍內的近似解．所以，如果能分一部分篇幅來介紹矩形法、梯形法等數值積分法，將有助于學生的實際應用．再如微分方程知識點，與其長篇大論地介紹幾種特殊簡單方程——齊次方程、可降階的高階微分方程等，不若分一部分來介紹通用的牛頓迭代法等數值求解法，同時介紹如何使用Maple軟件來完成求解．因此，如果能夠在教材中減弱對計算機巧的比重增加對算法應用的部分，將有助于學生更好地掌握與應用知識．學生們只要學習了算法，就可以利用計算機，輕松獲得近似解．原有的經典的方法由于其復雜性，有的學生還沒有畢業就已經忘記了；而這樣的普適方法因其簡單易學的可操作性，學生們工作時也會方便地用到．正如夸美紐斯在《大教學論》中強調的那樣：教給學生的知識必須實用，不要教給學生一些對他們的生活和學習的發展毫無用處的東西，這樣既讓他們對所學科目感到厭煩，同時又浪費了他們寶貴的時間．所以，教材建設者要高屋建瓴地將數學知識與生活、科學技術緊密結合，增加教材的實用性．

3.3 觸類旁通 增強學科間的滲透

數學與其它自然學科一樣，是一門變動的不斷發展的科學．由于各門學科之間都存在千絲萬縷的聯系，當其它學科發生了巨大的變化時，數學也應該隨之進行完善．錢學森先生指出，應該打通各行、各業、各學科的界限，大學都敞開思路相互交流、相互促進，整個知識體系各學科技術部門之間都是相互滲透、相互促進的，人的創造性成果往往出現在這些交叉點上．目前，計算機技術發展迅猛，而計算機技術在數學教育中也體現出越來越積極的參與性．可是目前其主要的參與都體現在課堂教學的技術手段當中，比如多媒體教學的使用以及數學軟件的探究[19]．而在數學教學內容中，則鮮有體現．正如“身體與靈魂”項目所呈現的，如果將計算機作為一個合適的內容滲透到數學當中去，它將有利于學生對知識的掌控、實驗與實踐．除此之外，音樂、美術、文學等都與數學有著不可分割的聯系，都可以在適當的教學環節進行滲透．加強學科間的滲透，將有利于學生的發散思維與實踐能力，促進其全面發展．對哪些學科進行滲透，這需要分類考慮．“高等數學”科目覆蓋面非常廣，無論是理工科還是文科都是要學習的，那么對于不同類型的學生，其學習的內容就應該有相應的區別．對文科而言，教材內容中應該多滲透文學與美學，如數學史的合理滲透[20]；對經濟類而言，教材內容應該多滲透計算科學與經濟學；對工科而言，教材內容應該多滲透基礎力學與計算科學．以定積分知識點為例，對文科生教學時，要多分析定積分定義中體現出的哲學思想——整體與局部、總量與部分量、變與不變、近似與精確、量變與質變等矛盾對立統一辯證法則，要多介紹與微積分基本公式相關的歷史——牛頓與萊布尼茲發現微積分思想的過程，以及由此造成的兩個民族之間的爭奪最后帶來的損失與反思；對經濟類學生教學時，要重點放在定積分在經濟學中的應用上——資本現值和投資問題、消費者剩余與生產者剩余、社會收入分配的平均程度等問題；對于工科生，除了要把握定積分的各種計算方法——換元積分法、分部積分法、有理函數積分法等，更要積極使用計算機軟件，讓學生掌握如何用Maple等軟件進行定積分計算．所以，學科建設者應該增設適應時代需要的新的課程領域或課程門類，構建重基礎、多樣化、有層次、綜合性的課程結構，最大限度地發揮課程的發展功能[21～26]．

綜而述之，“身體與靈魂”項目的獨特視角與思想給教育工作者帶來相應的啟示：教學內容要與時俱進，不斷進行完善和更新——加強其時代性，增加其實用性，增強學科間的滲透性，讓學科知識不再是孤立的、封閉的、靜態的體系， 而是聯系的、開放的、動態的系統．

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