誤差橢圓搜索法EES固定GNSS整周模糊度

張晶晶，程鵬飛，蔡艷輝，沈 楠

（中國測繪科學研究院，北京 100039）

一、引 言

整周模糊度的固定問題一直是GNSS精密定位和實時動態定位的關鍵，也是網絡RTK動態定位的關鍵［1-2］。國內外學者在整周模糊度的確定方面作了很多研究。目前，使用最多、理論最成熟的是LAMBDA方法（最小二乘模糊度降相關方法）。P J G Teunissen在1993年提出了LAMBDA方法，之后他就LAMBDA方法的整數降相關、搜索策略、模糊度搜索成功率，以及模糊度固定理論等方面作了深入完整的研究［3-4］。LAMBDA方法固定整周模糊度的步驟主要分為整數降相關和整周模糊度的搜索。De Dong等對LAMBDA方法的具體實現給出了詳細的說明［5］。而后的學者不斷發展和改進了LAMBDA方法:一部分學者對LAMBDA方法的整數降相關技術進行了改進；還有一部分學者改進了LAMBDA方法中模糊度的搜索策略［6-7］。X Yang等提出了同時改進整數降相關技術和整周模糊度搜索技術的改進 LAMBDA 方法 （MLAMBDA）［8］。MLAMBDA 方法降低了計算機計算復雜度，用時更少，適用于高維模糊度固定的方法。

但是，LAMBDA方法及后來改進的各種LAMBDA方法都是以整數矩陣降相關為基礎的，而整數降相關只能使得方差陣更加對角化，不能保證對角線元素在一個量級，從而不能保證搜索的區域接近球形，顯然不是理想狀態。而實數矩陣作為轉換矩陣時的優勢是:只要設定要達到的理想狀態，都可以通過實數轉換矩陣達到，而且過程是可逆的。因此，EES方法采用實數矩陣進行降相關，從而進行整周模糊度的確定。

二、EES固定整周模糊度的原理

參數之間的方差-協方差矩陣決定了一個誤差橢圓，誤差橢圓長軸的指向和誤差橢圓的大小決定了模糊度備選項的分布，進行模糊度搜索時最理想的情況就是使誤差橢圓既可以包含模糊度的正確值，同時可以減少搜索次數和搜索中斷次數，以最小的范圍找到正確的整周模糊度。一般原始的誤差橢圓并不具有這些優良的性質，可以通過實數矩陣變換，將原來參數之間的誤差橢圓轉換到理想的誤差橢圓，以縮小搜索范圍、提高搜索的成功率。

1.方差-協方差矩陣決定的最佳誤差橢圓

假設模糊度實數解之間的方差-協方差矩陣如下

根據Qa，計算誤差橢圓的要素［9］:

誤差橢圓的長半軸

誤差橢圓的短半軸

誤差橢圓的長軸指向

假設x0、y0是模糊度的實數解，為了方便書寫，設誤差橢圓的長軸指向偏離X軸角度為α（φE=α），那么原始坐標系下誤差橢圓的一般方程為

那么誤差橢圓上任意一點的斜率為

則這個橢圓的外切矩形的長和寬為

為了減少搜索范圍，需要橢圓兩條0°切線之間的距離與兩條90°切線之間的距離近似相等，此時橢圓的外切四邊形是正方形。這樣一來就不會出現某個方向的備選項很多，備選項在各個方向的分布比較均勻，縮小了搜索空間。

因此要使誤差橢圓各個方向搜索的備選項大致相等，最佳誤差橢圓的長軸指向應該為45°。

2.最佳誤差橢圓的計算

令所求的最佳誤差橢圓的方差-協方差矩陣為

誤差橢圓要素的計算同上一節。

所求的最佳誤差橢圓會降低模糊度之間的相關性，分析LAMBDA方法可以得到降相關之后方差協方差應該滿足

那么模糊度之間的相關性因子為

在搜索過程中，設置ρ的值為（-0.5，+0.5）之間的任意一個值，則需要求的是a、b的大小。

由最佳誤差橢圓的指向可知

將QEE的計算公式代入上式，可得a=b。

至此，兩個模糊度之間的最佳誤差橢圓應該滿足:兩個模糊度的方差相等（即a=b），方差之間的相關性在（-0.5，+0.5）之間。

3.最佳誤差橢圓固定整周模糊度原理

為了使三維模糊度搜索時誤差橢球近似接近球形，不出現某些方向過于扁長，造成模糊度搜索的數量增多，最好使得Q矩陣的對角線元素對角線上的元素差不多都在一個量級，對角線元素之間互差不超過0.5。

三維模糊度變換時，每次兩兩之間搜索一個最佳誤差橢圓，如按照（N1，N2）、（N2，N3）、（N3，N1）的順序，會出現下一次的變換打破上一次變換的情況，如（N2，N3）變換完之后打破了原來（N1，N2）的變換。這種情況影響不大，等到3個模糊度都變換一輪之后，如果Q對角線不滿足互差小于0.5的要求，繼續按照上述變換順序進行變換，直至對角線元素滿足要求。最多需要兩輪變換就能找到滿足要求的Q。

Q是通過原始的方差-協方差矩陣，按照最佳誤差橢圓的算法直接得到的。為了搜索整周模糊度，假設Qa到Q的整個過程是通過實數轉換矩陣K實現的，實數轉換矩陣K不僅完成了最佳誤差橢圓的搜索，而且還降低了模糊度之間的相關性。

由于Q、Qa都是對稱矩陣，而且已知，都有唯一的LTL分解，所以可以很方便地求出K矩陣。

經過實數矩陣K降相關之后，為了減少搜索時的中斷，需將Q對角線上的元素按照從大到小的順序排列［5］。經過實數降相關的方差陣的對角線元素也要按照從大到小的順序排列，這需要單位矩陣變換IT（整數矩陣）來完成。最終轉換后的矩陣QZ為

這么做的好處是省去了整數變換過程的復雜，而且I的行列式的值就是1。

4.EES最終確定的整周模糊度

搜索到整數矩陣z之后，那么原始數據對應的模糊度應該為

式中，Zamb是實數，取最接近Zamb的整數作為最終的整周模糊度。

5.EES方法有效性的評價

利用成功率［5-6］來判斷整周模糊度是否固定得準確。成功率越高，搜索的整周模糊度的可信度就越高，就越接近真實的整周模糊度，成功率能反映是否提高了整數解的準確性［6，10］。成功率的計算公式［6］為

三、試驗分析

可通過試驗來驗證EES方法是否是一種有效可行的固定整周模糊度方法。以下選擇兩條基線的實際觀測數據進行說明:基線1（BaseLine1）數據的采樣率為30 s，基線長度為31.749 45 m；基線2（BaseLine2）的采樣率為15 s，基線長度為2433.565 m。試驗中設定EES的相關性參數ρ為0.4、0.3、0.2這3種情況。

1.LAMBDA方法和EES方法固定模糊度成功率的比較

從試驗得到的數據和圖1、圖2可以看出:

圖1 BaseLine1使用LAMBDA方法和EES方法固定歷元的整周模糊度的成功率比較

圖2 BaseLine2使用LAMBDA方法和EES方法固定歷元的整周模糊度的成功率比較

1）對于 BaseLine1和 BaseLine2，ρ=0.4、ρ=0.3、ρ=0.2時EES方法模糊度固定的成功率都明顯高于LAMBDA方法。BaseLine1的基線長度比較短，EES的成功率從第7個歷元開始明顯高于LAMBDA方法，而且EES方法在18個歷元的時候成功率已經達到1。而LAMBDA方法在第24個歷元才達到1。因此EES方法比LAMBDA方法提前搜索到正確的整周模糊度。

2）BaseLine2的長度比BaseLine1長很多，因此隨著基線長度的增加，EES的優勢體現得更明顯，從第4歷元開始，EES的成功率就高于LAMBDA方法10%以上，直到第18歷元的時候，成功率提高了近30%，已經達到了97%，而LAMBDA方法此時的成功率只有70%左右。因此EES方法搜索到正確整周模糊度需要的歷元數比LAMBDA方法少。

2.LAMBDA方法和EES方法降相關效果的比較

從圖3明顯可以看出，EES方法降相關之后的對角線元素的最大值與最小值的比值都在10以內，遠遠小于LAMBDA方法處理的結果，說明經過EES處理過的對角線元素在一個量級，搜索空間更加接近球形。造成這種明顯差異的原因是，LAMBDA方法通過整數轉換矩陣進行降相關，雖然可以使得方差陣更加對角化，但是并不能保證方差陣對角線元素在一個量級，進而可能使得搜索的空間有些扁長；而EES采用實數矩陣降相關，可以達到各種設定的理想狀態，使得降相關之后的方差陣的對角線元素幾乎在一個量級之上。

3.ρ取不同值對EES方法成功率的影響

從表1可以看出，只要將ρ設置在0.5以內，EES方法的成功率和固定基線解的精度都高于LAMBDA方法。從表1還可以看出，盡管成功率差距不是很大，但是很大程度上ρ=0.4的成功率高于ρ=0.3和ρ=0.2，因此并不是ρ越小效果越好。

圖3 LAMBDA方法和EES方法降相關效果的比較

表1 不同參數情況下EES模糊度固定成功率的比較

續表1

四、結 論

1）試驗證明，通過實數矩陣變換的EES方法是一種切實有效的固定整周模糊度的方法。EES方法使搜索空間更加接近球形，成功率高于LAMBDA方法。而且EES方法搜索到整周模糊度所需要的歷元數少于LAMBDA方法。

2）隨著基線長度的增加，EES方法固定整周模糊度的成功率明顯高于 LAMBDA方法，EES和LAMBDA方法固定模糊度的成功率都和觀測的時間長短有關系，時間越長效果越好。但EES方法達到90%以上成功率的用時更短，模糊度的固定效果會更好，搜索到正確的整周模糊度EES方法需要的歷元數更少。

3）EES方法中不同ρ值的設置對精度和成功率有影響，總體來說只要ρ的值設置在（-0.5，+0.5）之間，基線的精度和模糊度固定的成功率相差不大，但是并不是ρ越小效果越好，一般取0.3～0.4。

4）LAMBDA方法雖然達到了降相關的效果，方差譜也相對平滑，但是有時對角線元素的數值量級相差較大，造成搜索空間某個方向有些扁長；而EES方法在降相關的同時，使得對角線元素的數量級相差更小，幾乎是在同一量級。

目前對EES方法的研究還在低維，高維的EES方法有待進一步的研究。

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