模型論力迫法在代數(shù)中的一個應(yīng)用

張 龍，陳國龍，萬展翔 （淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

1 預(yù)備知識

定義1［1］設(shè)G是由I（C）中一些原子語句或原子語句的否定組成的集合。當(dāng)G適合下列2個條件時，稱為一個T－兼納集：（i）G的每一有限子集都是一個T－條件；（ii）對I（C）中每一語句φ，都存在一個T－條件p?G，使p╟φ（p力迫φ）或p╟（┐φ）（┐φ表示非φ）。

定義2［1］設(shè)m是I的模型，如果存在一個T－兼納集G，使m是m（G）在I中的歸約，則稱m為一個T－兼納模型。

定理1 設(shè)Σ（x）是可數(shù)語言I的存在公式的集合，T是I的一個歸納理論，C是可數(shù)無限新常量集，對T在I（C）中的每個條件p，每個c∈C，如果存在公式都有σ（x）∈Σ（x），使T∪p∪ ｛σ（x）｝和諧，則必有模型μ╞φ（μ滿足φ），μ的論域中任意一個元素a∈A，都有σ（x）∈Σ（x）使μ╞σ（a）。

定理2［1］設(shè)G是一個T－兼納集，則存在I（C）的一個（并且除同構(gòu)外唯一）模型m（G）使：（i）m（G ）的論域M（G）中每一元素m在C中有一個常量c的解釋；（ii）對I（C）中每一語句φ，m（G）╟φ當(dāng)且僅當(dāng)G╟φ。

定理3［1］設(shè)T是一個 ?? 理論（即：T中每一語句都是 ?x1，…xn，?y1，…，ym，ψ（x1，…，xn，y1，…，ym）形狀，ψ中無量詞），則每一個T－兼納模型m都是T的模型。

定理4［1］設(shè)T是一個??理論，則每一個T－兼納模型m都是對T存在封閉的。

引理1［1］對每一T－條件p，都存在一個T－兼納集G?p。

引理2［2］設(shè)μ是I的一個模型，μ╞T，設(shè)φ是I（A）中任意一個存在句，μ╞φ當(dāng)且僅當(dāng)存在一個有限集p?Δμ，使p╟φ。

引理3［2］設(shè)T是歸納理論，即T保持模型鏈的并，則T的兼納模型是T的模型。

2 主要結(jié)論

首先，筆者用模型論力迫法把定理1推廣到可數(shù)無限多個存在公式的集合中。

定理5 設(shè)Σ1（x），Σ2（x），…是可數(shù)語言I的可數(shù)多個存在公式的集合，T是I的一個歸納理論，C是可數(shù)無限新常量集，對T在I（C）中的每個條件p，每個c∈C，每個m＜ω，都有σ（x）∈Σm（x），使T∪p∪ ｛σ（c）｝和諧，則存在一個模型μ╞T，對每個a∈A，每個m＜ω，都有σ（x）∈Σm（x），使μ╞σ（a）。

證明 先來證明對每個條件p，每個存在公式σ（x），每個c∈C，如果T∪p∪｛σ（c）｝和諧，那么就一定存在條件q?p，有q╟σ（c）。

由T∪p∪ ｛σ（c）｝和諧可知，存在I（C）的模型μ，μ╞T，μ╞p，μ╞σ（c）。由引理2知，存在條件s，有s?Δμ使得s╟σ（c）。同時，可得p∪s?Δμ，因此p∪s也是T的條件。令q＝s∪p，則有q?p，q╟σ（c）。

下面列出C的全部常量c1，c2，…，cn，…，n＜ω。并且也列出I（C）的全部句子：φ0，φ1，…，φn，…，n＜ω。

還要?dú)w納地構(gòu)造T在I（C）中的條件的遞增序列：p＝p0?p1? …?pn? …，n＜ω，使得滿足每個n＜ω，都有pn＋1╟φn或pn＋1╟ ┐φn，并且σ（x）∈Σm（x），同時pn＋1╟σ（cn）。

假設(shè)pn已經(jīng)構(gòu)造好了，由題目已知條件有σ（x）∈Σm（x），使得T∪pn∪｛σ（cn）｝是和諧的。由上面的證明可知存在條件q，q?pn，q╟σ（cn），若q╟ ┐φn，令pn＋1＝q；若q不能力迫 ┐φn，那么存在s?q，s╟φn，令pn＋1＝s，則pn＋1╟σ（cn），并且pn＋1╟φn或pn＋1╟ ┐φn。

定理6 設(shè)Σ1（x1，…，xn1），…，Σr（x1，…，xnr），… 是可數(shù)語言I的可數(shù)多個存在公式的集合，T 是I的歸納理論，C是可數(shù)無限新常量集，對T在I（C）中的每個條件p，每一組c1，…，cnr∈C，每個r＜ω，都有σ（x1，…，xnr）∈Σr（x1，…，xnr），使T ∪p∪ ｛σ（x1，…，xnr）｝和諧，則存在一個模型μ╞T，對每一組a1，…，anr∈A，每個r＜ω，都有σ（x1，…，xnr）∈Σr（x1，…，xnr），使μ╞σ（a1，…，anr）。

下面給出代數(shù)封閉除環(huán)的定義，并證明有關(guān)可數(shù)除環(huán)的一個定理。

定義3 令I(lǐng)＝｛＋，·，0，1｝。設(shè)I的模型m 是一個除環(huán)。若對I中每一有限組原子公式或其否定si（x1x2，…，xny1y2，…，yr）（i＝1，2，…，k）及每一組μ1，μ2，…，μn∈ M 都有：“如果IM中的存在語句：φ ＝ （?y1y2，…，yr）（s1（cμ1cμ2，…，cμny1y2，…，yr）∧ … ∧sk（cμ1cμ2，…，cμny1y2，…，yr））在mM的一個擴(kuò)張除環(huán)nM中成立，則φ也在mM中成立。”則稱m為一個代數(shù)封閉除環(huán)。

定理7 每個可數(shù)除環(huán)A都可擴(kuò)張為一個可數(shù)的代數(shù)封閉除環(huán)。

證明 令I(lǐng)＝｛＋，·，0，1｝，T為I中的除環(huán)的一般理論（是一個??理論）。設(shè)A為一可數(shù)除環(huán)。令T1＝T∪ΔA（ΔA為A的圖像），則T1是可數(shù)語言IC（C為A的論域）中的??理論，并且，T1的每個模型B都含有與A同構(gòu)的子除環(huán)。

由引理1，定理2及定義2知，存在可數(shù)的T1－兼納模型m1。由定理3可知，m1╞T1，所以m1是除環(huán)，并且可看作A的擴(kuò)張.再由定理4知，m1是對T1存在封閉的，所以m1是可數(shù)的代數(shù)封閉除環(huán)。

推論1 每個可數(shù)域μ都可擴(kuò)張為一個可數(shù)的代數(shù)封閉域。

［1］王世強(qiáng) .模型論基礎(chǔ) ［M］.北京：科學(xué)出版社，1987：58－60.

［2］沈復(fù)興 .模型論導(dǎo)引 ［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1995：239－240.