培養(yǎng)兒童空間認(rèn)知能力的有效途徑探究——以拆拼孔明鎖為例

許世紅，黃毅英

（1.廣東省教育研究院，廣東 廣州 510030；2.香港中文大學(xué) 課程與教學(xué)論系，香港）

1 學(xué)校教育中培養(yǎng)學(xué)生空間認(rèn)知能力的背景簡(jiǎn)介

李洪玉和林崇德認(rèn)為，空間認(rèn)知能力是指人們對(duì)客體或空間圖形（任意維度）在頭腦中進(jìn)行識(shí)別、編碼、貯存、表征、分解與組合、抽象與概括的能力，它主要包括空間觀察能力、空間記憶能力、空間想象能力和空間思維能力等因素.在完成空間任務(wù)的認(rèn)知過(guò)程中，空間想象能力起著重要的橋梁作用，而空間思維能力則起著決定性的核心作用[1].

2002年中國(guó)進(jìn)入第八次基礎(chǔ)教育課程改革，在設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生空間認(rèn)知能力的載體時(shí)，學(xué)習(xí)內(nèi)容由過(guò)去集中安排在高一的立體幾何，調(diào)整為現(xiàn)在從小學(xué)、初中至高中均安排空間知識(shí)的學(xué)習(xí)，其中一至三年級(jí)主要學(xué)習(xí)常見(jiàn)立體圖形的識(shí)別與分類(lèi)、方位的辨別與描述、感知圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱(chēng)；四至六年級(jí)在深化已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，增加常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)特征、辨認(rèn)從不同方位看到的物體的形狀和相對(duì)位置、了解體積的意義及常見(jiàn)立體圖形體積的度量方法；七至九年級(jí)則在深化已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，增加了視圖與投影.十至十一年級(jí)則增加了立體幾何初步與空間解析幾何初步.那么，在各年段，空間認(rèn)知能力的培養(yǎng)主要有哪些有效途徑？

田中和戴洪萍利用一年級(jí)（下）數(shù)學(xué)教材（江蘇教育出版社的《九年義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》）上的某單元頭圖引導(dǎo)學(xué)生用一位數(shù)乘一位數(shù)的方法計(jì)算 3排房子一共有幾扇門(mén)和幾個(gè)花壇這一問(wèn)題設(shè)計(jì)測(cè)量工具，測(cè)量和分析幼兒園中班、大班和小學(xué)一年級(jí)兒童的空間認(rèn)知和推理能力，得出4～7歲兒童在空間認(rèn)知與推理能力的形成上，仍然是自然成熟和教育影響共同起作用，這一階段的兒童對(duì)空間的認(rèn)知和推理出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要是因生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的不足而導(dǎo)致，而這方面學(xué)校教育和家庭教育可以給予兒童很大幫助[1].許燕和張厚粲研究顯示，空間能力在小學(xué)二、四、六年級(jí)均未出現(xiàn)很大的性別差異，男生在空間能力上的優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)為隨年齡增長(zhǎng)而縮小并消失的特點(diǎn).林崇德研究表明：從初二開(kāi)始男生的空間認(rèn)知能力發(fā)展平均水平高于女生，但到高一以后，男生的快速期己結(jié)束，男女生的空間認(rèn)知能力水平趨于接近.周江霞等則系統(tǒng)介紹了近80年來(lái)學(xué)界對(duì)認(rèn)知方式和空間認(rèn)知能力之間關(guān)系的各種研究（并側(cè)重以中學(xué)生為例進(jìn)行分析），這些研究均認(rèn)為，幾何能力與空間認(rèn)知能力密切相關(guān).不同的中學(xué)生認(rèn)知方式有所不同，空間認(rèn)知能力也因人而異[2].上述各種研究較少?gòu)膶?shí)證的角度探討如何提升學(xué)生的空間認(rèn)知能力.

在學(xué)校教育中培養(yǎng)學(xué)生的空間認(rèn)知能力，主要途徑是學(xué)習(xí)空間知識(shí)、解答相關(guān)空間問(wèn)題；但學(xué)習(xí)空間知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)更多需要在觀察、動(dòng)手操作、試驗(yàn)、驗(yàn)證等活動(dòng)中積累并完善.尤其在小學(xué)階段，空間知識(shí)的學(xué)習(xí)更需要借助實(shí)物開(kāi)展，空間觀念的形成更需要實(shí)物的操作來(lái)輔助.

游戲與玩具?？梢源龠M(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其對(duì)那些恐懼?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，往往有奇效[2].人生而有玩性，玩具是滿(mǎn)足人玩性的工具.一個(gè)成功的玩具要有兩方面的基本要求：一是好玩，即娛樂(lè)性；二是可以鍛煉人的某項(xiàng)能力.立體玩具尤其能夠鍛煉人們的空間認(rèn)知能力.Dienes認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的形成可以通過(guò)“自由玩耍，有規(guī)律的游戲，尋找共同結(jié)構(gòu)，描述或圖示，符號(hào)化，形式化”這6個(gè)階段形成[3].黃毅英認(rèn)為空間認(rèn)知能力的建立同樣也可以用這個(gè)六階段理論加以解釋?zhuān)⑦M(jìn)一步概括為“接觸與自由玩耍，立體數(shù)學(xué)游戲，從立體模型中認(rèn)識(shí)空間關(guān)系，親手制作立體模型，從平面圖處理立體問(wèn)題，無(wú)需繪圖單從文意處理立體問(wèn)題”[4].那么，兒童在用立體玩具做游戲的過(guò)程中，其思維特點(diǎn)是什么？思維障礙在哪里？如何抓住思維關(guān)鍵，幫助兒童有效地建立立體概念？養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣？

2 兒童拆拼兩種孔明鎖的過(guò)程實(shí)錄

孔明鎖又稱(chēng)“魯班鎖”，民間傳說(shuō)由三國(guó)時(shí)期諸葛亮設(shè)計(jì)，也有傳說(shuō)是由戰(zhàn)國(guó)時(shí)期魯班設(shè)計(jì).傳統(tǒng)的孔明鎖玩具部件是用原木制成的若干根長(zhǎng)短粗細(xì)相同的木條，這些木條可以利用內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）相互制約組合而成（如圖 1）.現(xiàn)代改良后的孔明鎖玩具部件則是艷麗的彩色塑料條（如圖 2），更能夠吸引兒童的注意力，而且拆拼難度有所降低，較適合新手練兵.

圖1 傳統(tǒng)孔明鎖

圖2 塑料彩色孔明鎖

作為三維的拼插玩具，孔明鎖具有如下特點(diǎn)：（1）部件間的凹凸結(jié)構(gòu)往往只能按照固定的方式結(jié)合，部件間的嚙合十分巧妙；（2）拼好后，從外部看不到部件的凹凸結(jié)構(gòu)；（3）玩具易拆難裝.

2.1 案例1——拼裝彩色孔明鎖

小貝是一名即將進(jìn)入四年級(jí)學(xué)習(xí)的小學(xué)生，她對(duì)動(dòng)手拼裝玩具有較濃的興趣，有著較長(zhǎng)的搭建積木房子（游樂(lè)園、著名建筑）的經(jīng)驗(yàn)，也學(xué)過(guò)恢復(fù)魔方6個(gè)面的基本方法.在暑假期間，母親購(gòu)買(mǎi)了系列的立體解套類(lèi)玩具供她玩耍.

階段一（拆玩具）.小貝從拆孔明鎖開(kāi)始.經(jīng)過(guò)摸索，她首先把綠色部件（簡(jiǎn)稱(chēng)綠條，下同）抽出來(lái)，然后把黃條拿下來(lái)，其它依次是紅條、白條、橙條與藍(lán)條.由于這 6個(gè)部件的結(jié)構(gòu)與顏色都不相同，她除了記得綠條是第一個(gè)抽出來(lái)的外，其它部件都混淆了.

階段二（熟悉部件結(jié)構(gòu)）.小貝把綠條放在一邊，然后嘗試找出兩條拼成十字形，然后加一條拼成三維形式，但嘗試了很多遍，都失敗了.這時(shí)，小貝重新把六根塑料條排在一起觀察（圖 3–1），發(fā)現(xiàn)橙條、紅條、藍(lán)條的凹凸部分相對(duì)復(fù)雜，于是就集中精力研究這 3根塑料條（圖 3–2）.進(jìn)一步觀察，小貝又發(fā)現(xiàn)，其實(shí)紅條與藍(lán)條結(jié)構(gòu)相同，只是互相對(duì)稱(chēng)（圖 3–3），于是她進(jìn)一步縮小嘗試范圍，研究紅條與藍(lán)條怎樣榫合，才能把橙條插入紅藍(lán)結(jié)構(gòu)中以構(gòu)成合理的三維框架.

圖3 分析結(jié)構(gòu)

在不斷嘗試的過(guò)程中，小貝又發(fā)現(xiàn)紅條、藍(lán)條的凹凸部分也具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，這時(shí)，她關(guān)注的重點(diǎn)已經(jīng)從塑料條的顏色轉(zhuǎn)到其結(jié)構(gòu)上.

階段三（拼出玩具，并探索出兩種方法）.經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，小貝發(fā)現(xiàn)，當(dāng)藍(lán)條豎著放時(shí)，紅條水平放在藍(lán)條的后面（如圖4–1）；這時(shí)左手拿住這個(gè)藍(lán)紅十字條，右手把橙條水平插入（如圖 4–2）；接下來(lái)的步驟就比較容易了，依次把白條、黃條從右邊、前面插入相應(yīng)的空位（如圖4–3、圖4–4），最后插入綠條，六合榫就拼裝完成了.此為方法一.

圖4 小貝的方法一

由于紅條與藍(lán)條結(jié)構(gòu)一致，小貝發(fā)現(xiàn)，當(dāng)紅條豎著放時(shí)，藍(lán)條水平放在紅條的后面（圖 5–1）；這時(shí)右手拿住這個(gè)藍(lán)紅十字條，左手把橙條水平插入（圖 5–2）；接下來(lái)的步驟同前，依次把白條、黃條從左邊、前面插入相應(yīng)的空位（如圖5–3，5–4），最后插入綠條，完成六合榫的拼裝.此為方法二.

圖5 小貝的方法二

這一研究過(guò)程持續(xù)了一個(gè)星期.

階段四（歸納方法并教母親拼裝）.小貝學(xué)會(huì)拼裝這種簡(jiǎn)單的孔明鎖后，非常高興，母親請(qǐng)她給予指導(dǎo)，她邊教邊總結(jié)，最后歸納出以下3個(gè)要點(diǎn)：（1）拼的關(guān)鍵在于擺好紅條與藍(lán)條的相對(duì)位置；（2）組合紅條與藍(lán)條時(shí)，必須讓即將構(gòu)成的方形孔位于正中間；（3）方法一適合右撇子（即右手靈活的人）使用；方法二適合左撇子（左手靈活的人）使用.

階段五（跟蹤研究）.小貝在教母親拼裝的時(shí)候，母親又發(fā)現(xiàn)了其它的拼裝順序，如圖6.這個(gè)拼裝法其實(shí)與小貝的方法二是一致的.但當(dāng)母親問(wèn)小貝這種拼裝法與她的方法有沒(méi)有什么不同時(shí)，小貝沒(méi)有興趣再探索了，她說(shuō)，既然能夠拼出來(lái)，當(dāng)然也算一種方法，至于與我的方法有什么不同，你去研究吧.

圖6 母親的方法

2.2 案例2——拼裝木色孔明鎖

九柱孔明鎖部件如圖7，其拼裝更具有挑戰(zhàn)性.小貝首先要從中選出6根完成六合榫的拼裝.

階段一（看圖紙拼玩具）.這個(gè)玩具的難度大了很多，因此小貝必須借助說(shuō)明書(shū)來(lái)研究.小貝首先給 9根木條編號(hào)，再取編號(hào)自4到9的木條，按照?qǐng)D示逐步拼裝了5根木條（圖8（1）～8（4）），最后一根木條的拼裝方法則在母親的幫助下完成（圖8（5）～8（7））.

圖7 九柱孔明鎖的部件

圖8 根據(jù)說(shuō)明拼裝六合榫

雖然小貝勉強(qiáng)拼裝好六合榫，但她覺(jué)得這個(gè)玩具太難了，因此不太感興趣，于是把它放在了一邊.

階段二（拆玩具）.過(guò)了幾日，母親提醒小貝研究這個(gè)玩具.這時(shí)，小貝已忘記拼裝方法.而她對(duì)看說(shuō)明書(shū)不感興趣，于是動(dòng)手嘗試解開(kāi)這些木條.

小貝先觀察木條的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)木條4與5、木條6與7、木條8與9各平行相鄰.經(jīng)過(guò)摸索，她終于把孔明鎖拉開(kāi)成兩個(gè)十字架水平錯(cuò)位重疊的形式（如圖8-6），這時(shí)，木條5掉出來(lái)；小貝把木條5放在一邊，再把兩個(gè)十字架完全重疊，這時(shí)一不小心，剩下的木條全散開(kāi)了.她除了記得木條 5是第一個(gè)拿出來(lái)的外，其它木條的拆開(kāi)順序都混淆了.

階段三（熟悉部件結(jié)構(gòu)）.小貝把6根木條依次兩兩一組排列，希望比較其結(jié)構(gòu)來(lái)發(fā)現(xiàn)拼裝線(xiàn)索，如圖9.但她覺(jué)得太難，又想放棄.

圖9 研究木條結(jié)構(gòu)

階段 4（拼出玩具）.這時(shí)，母親開(kāi)始給予幫助.有了拼裝塑料孔明鎖的經(jīng)驗(yàn)，小貝知道要先拼出一個(gè)立體十字架.由于木條5是最后加入，木條4與5平行，因此，木條4應(yīng)該構(gòu)成立體十字架的豎軸，現(xiàn)在的關(guān)鍵是構(gòu)建合適的水平十字架.

小貝覺(jué)得木條9比較獨(dú)特，因此選擇嘗試用木條9與木條6或7組建水平十字架.在反復(fù)試驗(yàn)的過(guò)程中，用木條4來(lái)檢驗(yàn)構(gòu)建的水平十字架是否可行.經(jīng)過(guò)比較，小貝用木條9與7完成了水平十字架的拼裝.

接下來(lái)，小貝在豎直方向上加入木條4，然后按照配對(duì)的結(jié)構(gòu)，依次把木條8加入到與木條9平行相鄰的位置，把木條6加入到與木條7平行相鄰的位置.最后，加入木條5，完成拼裝（如圖10）.

階段 5（歸納方法）.小貝經(jīng)過(guò)拆與拼的反復(fù)操練，對(duì)這個(gè)木色孔明鎖的結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了很清晰的認(rèn)識(shí)，但是，對(duì)于為什么要這樣設(shè)計(jì)每根木條的凹凸結(jié)構(gòu)覺(jué)得很困惑，而要想弄明白這個(gè)問(wèn)題，難度也超出了她目前的能力.小貝歸納出拼裝這個(gè)孔明鎖的4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）把木條編號(hào)；（2）木條可以分成3組；（3）拼裝關(guān)鍵是用木條7與9搭出水平十字架，再加入木條4構(gòu)成空間十字架；（4）木條的凹凸部分沒(méi)有完全填滿(mǎn)，所以可以適當(dāng)拉開(kāi)一定空隙，插入木條[5].

另外，用7根、8根、9根木條拼裝孔明鎖的程序與上述方法類(lèi)似，小貝在母親的引導(dǎo)下，也學(xué)會(huì)了拼裝.

圖10 拼裝好的俯視圖

3 8–10歲兒童解答立體玩具的思維特點(diǎn)

小貝是一名智力正常的9歲女童，分析上述兩個(gè)案例，結(jié)合身邊同年齡段兒童搭建積木、拼裝立體玩具的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)8–10歲年齡段兒童空間認(rèn)知能力構(gòu)建與發(fā)展的一些基本特點(diǎn).

3.1 對(duì)色彩鮮艷構(gòu)造簡(jiǎn)潔的立體玩具感興趣

小學(xué)中年段學(xué)生既喜歡比較生動(dòng)直觀的玩具，也希望玩具的玩法能夠具有智力挑戰(zhàn)，因此色彩鮮艷的立體拼圖或拼裝類(lèi)玩具符合該階段兒童的審美意識(shí)，也符合其心理需求，能夠引起兒童玩耍的興趣.另外，在拼裝初期，彩色部件可以幫助兒童盡快發(fā)現(xiàn)玩具結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)或拼裝規(guī)律，適當(dāng)降低拼裝難度，也有利于兒童盡快熟悉相關(guān)的玩法，幫助兒童保持較長(zhǎng)的探究興趣.

3.2 喜歡自主動(dòng)手操作

這一階段的兒童具有一定的獨(dú)立意識(shí)，希望獨(dú)立完成游戲.由于玩具是實(shí)操性的，兒童在動(dòng)手拆拼的過(guò)程中不斷嘗試各種解決問(wèn)題的渠道，也不斷熟悉玩具各個(gè)部件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與組合方式，其觀察能力、記憶能力、想象能力和思維能力等都得到鍛煉，空間認(rèn)知能力也就逐漸形成.

3.3 按先顏色后結(jié)構(gòu)的思維規(guī)律拆拼立體玩具

在兒童拆拼立體玩具的初始階段，顏色輔助兒童較好地區(qū)分出各部件及其拆拼順序.但是，當(dāng)兒童逐漸熟悉了各部件的結(jié)構(gòu)特征后，顏色的作用就逐漸淡化了，兒童更多地從部件的結(jié)構(gòu)特征上思考各部件間的多種可能組合方式，不斷觀察這些組合方式間的差異，通過(guò)比較，選擇出適當(dāng)?shù)钠囱b組合，最終獲得解決問(wèn)題的方法.

3.4 能夠借助有條理的方法從正逆兩個(gè)方向探索并總結(jié)解決一類(lèi)問(wèn)題的程序

立體玩具的拆與拼是正向思維與逆向思維的具體體現(xiàn).兒童在拆玩具的時(shí)候，仔細(xì)觀察玩具各部件的組合方式，并記下其組合順序；在拼玩具的時(shí)候，就可以將拆的過(guò)程逆向運(yùn)用到拼的過(guò)程中，從而節(jié)省了探索拼裝的時(shí)間.

這種思維方法不僅對(duì)這一階段的兒童適用，而且對(duì)更高年齡段甚至成人也是一條非常有效的解決問(wèn)題的方法.

3.5 對(duì)空間坐標(biāo)系有直覺(jué)感知

雖然這一階段的兒童沒(méi)有平面坐標(biāo)系、空間坐標(biāo)系的知識(shí)，但是，由于人們生活在三維空間，基于生活經(jīng)驗(yàn)，兒童知道平面與空間的差異.在小學(xué)低階段，學(xué)校中也滲透了正方體、長(zhǎng)方體、球等立體圖形的直觀認(rèn)識(shí)，因此，兒童在拼裝立體玩具時(shí)，對(duì)空間坐標(biāo)系有直覺(jué)感知，經(jīng)過(guò)反復(fù)的拆與拼，逐漸認(rèn)知到拼裝立體玩具的關(guān)鍵是先搭建一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g十字架.

這一點(diǎn)也充分說(shuō)明，立體玩具對(duì)兒童空間認(rèn)知能力的形成具有至關(guān)重要的作用.

3.6 不習(xí)慣閱讀說(shuō)明書(shū)中的立體示意圖

雖然兒童在動(dòng)手拆拼玩具的過(guò)程中體現(xiàn)出對(duì)空間觀念本質(zhì)的感受是非常準(zhǔn)確的，但是他們?cè)诳臻g方面的專(zhuān)業(yè)知識(shí)還是極其有限.立體圖形的平面示意圖把直觀的空間模型轉(zhuǎn)化為抽象的平面形式，又伴隨著相關(guān)說(shuō)明，往往顯得很復(fù)雜，立體玩具部件中的組合也不容易讀懂，因此，不到萬(wàn)不得已，兒童往往忽視玩具中的配套說(shuō)明書(shū)，而選擇在動(dòng)手拼裝中探索組合規(guī)律.

這一點(diǎn)也說(shuō)明，對(duì)于兒童而言，立體圖形的平面示意圖的閱讀需要成人的引導(dǎo)與幫助.一旦兒童逐漸適應(yīng)了閱讀立體圖形的平面示意圖，那么當(dāng)他們?cè)趯W(xué)校正式學(xué)習(xí)立體幾何課程時(shí)，就比較容易克服圖形方面直觀錯(cuò)覺(jué)的誤導(dǎo)，能夠更順利地開(kāi)展學(xué)習(xí).

4 對(duì)學(xué)校開(kāi)展立體知識(shí)教學(xué)的啟示

過(guò)去，高中生通常在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)遇到很多困難，一個(gè)主要原因是學(xué)生缺乏空間觀念，因?yàn)樗麄冊(cè)诔砷L(zhǎng)早期很少?gòu)氖禄騾⑴c立體物的玩耍與研究[6～7].中國(guó)自2002年啟動(dòng)基礎(chǔ)教育課程改革以來(lái)，在空間認(rèn)知能力培養(yǎng)方面，學(xué)校已經(jīng)從兒童成長(zhǎng)早期介入，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手制作常見(jiàn)的立體圖形，取得了較好的教學(xué)效果.但在利用立體玩具開(kāi)展教學(xué)方面，積累的資源與案例均很有限，常見(jiàn)的魔方、魔尺興趣小組，也往往是以學(xué)生社團(tuán)的方式出現(xiàn)，教師有目的組織的不多.

對(duì)于兒童而言，空間認(rèn)知能力的培養(yǎng)往往開(kāi)始于玩弄各種立體玩具.例如孔明鎖，其拼裝雖然有難度，但結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此比較適合兒童.兒童在拆拼立體玩具的過(guò)程中，通過(guò)觀察、操作，不僅直觀識(shí)別、區(qū)分、發(fā)現(xiàn)各部件之間的結(jié)構(gòu)特征與對(duì)稱(chēng)性，還可以認(rèn)識(shí)各部件的相對(duì)位置與組合方式，并學(xué)習(xí)用上、下、左、右、前、后描述各部件的相對(duì)位置，嘗試從不同角度尋求拆拼方法，了解不同方法間的差異.在這一過(guò)程中，兒童不僅積累了解決這類(lèi)問(wèn)題的方法，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣，初步建立起空間觀念，還發(fā)展了合情推理與演繹推理的能力.特別地，兒童在拼裝立體玩具的過(guò)程中，體驗(yàn)獨(dú)自克服困難、最終解決問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)了克服困難的勇氣與信心.因此，拼裝立體玩具是培養(yǎng)兒童空間觀念的有效途徑，教師在學(xué)校中，應(yīng)適當(dāng)組建這方面的興趣小組，引導(dǎo)兒童在玩中學(xué)，體驗(yàn)玩數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

[1] 李洪玉，林崇德.中學(xué)生空間認(rèn)知能力結(jié)構(gòu)的研究[J].心理科學(xué)，2005，28（2）：269–271.

[2] 田中，戴洪萍.4～7歲兒童空間認(rèn)知和推理能力的測(cè)試研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（11）：35–41.

[3] 周江霞，張景斌，周珍.認(rèn)知方式與空間認(rèn)知能力的關(guān)系研究評(píng)述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（8）：68–71.

[4] Bell F H. Teaching and Learning Mathematics in Secondary Schools [M]. Wm C Brown Company, 1978.

[5] Dienes Z P. Building up Mathematics[M]. London: Hutchinson Educational Ltd, 1971.

[6] 黃毅英.立體數(shù)學(xué)游戲與空間想象力之訓(xùn)練[J].數(shù)學(xué)傳播，1990，（56）：78–96.

[7] 吳躍忠，葛鴛鴦，莫雷.不同認(rèn)知水平的解答編碼對(duì)數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的影響研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：30–33.