基于可變模糊數據包絡分析的多目標決策模型

雙 晴，袁永博，張明媛

（大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

多目標決策問題是決策者在決策中經常遇到的實際問題，它是指在多個目標準則情況下確定一個方案好壞的決策過程，如生產規劃、企業經濟效益的綜合評價、武器系統的優化設計等［1］.

多目標決策問題的關鍵步驟是目標權重的確定.各指標在決策中的地位不同，其差異主要表現在：（1）決策者對指標的重視程度不同；（2）指標在決策中的作用不同，即指標傳達給決策者的信息量不同；（3）各指標價值的可靠程度不同.目前，指標權重確定的方法主要可以劃分為主觀賦權法和客觀賦權法兩種［2］.主觀賦權法通過專家意見、問卷調查、通用準則等方式確定權重，如簡單加權法、TOPSIS法［3］、加權平均規劃法［4］等.客觀賦權法試圖通過實際數據尋找數據間的關系而生成客觀權重，如變異系數法、熵法［5］等.然而，由于客觀事物的復雜性及人類思維的模糊性，一般情況下，人們難以給出明確的偏好信息［6］，因此，能夠直接反映數據關系的客觀賦權法被認為更為有效和準確.

多目標決策問題的另一個關鍵要素是距離基準點的選擇.通常樣本與理想點距離越小越好.同時一些研究認為由于負理想點或非理想點為所構建樣本中最劣集合，因此比較基準為距離最劣集合越遠越好［7－8］.樣本最終根據與理想點或非理想點的距離進行排序和擇優.

本文通過優化每個決策指標的綜合屬性值得到客觀權重，組合賦權并用可變模糊集理論與方法對決策單元進行排序，以避免指標偏好信息獲取困難的問題，并修正數據包絡分析方法中決策單元同時最優而難以擇優的缺點，其相對隸屬度的思想使決策單元的排序滿足“距離理想點越近越好，距離非理想點越遠越好”的思想，以便于計算機實現.

1 考慮權重客觀度的可變模糊多目標決策模型

1.1 指標特征值規格化方式

設n個樣本組成的集合為｛x1，x2，…，xn｝，共有m個指標特征值向量構成指標特征值矩陣：

其中xij為樣本j指標i的特征值.為消除m個指標特征值物理量綱不同所帶來的不可公度性，需要對指標特征值進行規格化，即要將指標特征值xij變換為對聚類樣本關于模糊概念的指標相對隸屬度rij.指標的規格化方式一般可分為效益型、成本型、固定型、偏離型、區間型等［9］，但以效益型和成本型最為通用.

效益型指標：特征值越大越優，規格化公式為

成本型指標：特征值越小越優，規格化公式為

1.2 數據包絡分析與客觀權重

數據包絡分析（DEA）是一種在具有多輸入多輸出的同水平決策單元（DMU）上評價相對效率的 方 法［10］.自 運 籌 學 家Charnes等［11］在1978年以相對效率概念為基礎發展DEA 這一嶄新的效率評價方法以來，模型的適用范圍不斷擴展，重要的理論結果不斷出現，模型的實際應用也日益廣泛.

多目標決策問題可以視為缺少投入量或每個決策單元具有相同投入量的DEA 問題［12］，可以證明，DEA 有效性與相應的多目標規劃問題的Pareto有效解或非支配解是等價的［13］，因此，使用DEA 模型求解能夠避免目標之間的沖突和無法比較的現象，為決策者提供一個較佳的解空間.其模型可表示為

其中Rij表示樣本j指標i的特征值規格化數，wi為指標i的相對重要性權重，ε為非阿基米德無窮小，以方便使用單純形算法求解模型.模型根據決策單元效率值所構建的超平面計算每個DMU的最優指標權重.模型的優勢在于：（1）DEA 適用于復雜系統，能夠從最有利于DMU 的角度進行評價；（2）投入產出向量間不必存在顯示關系表達式，DEA 模型能夠排除很多主觀因素，具有更強的客觀性.然而，盡管DEA 能夠在優化權重的基礎上求出每個DMU 的效率值，卻很有可能出現多個DMU 同時達到效率值為1的情況，因此需要一種合理的機制幫助決策者進一步選擇最優決策單元.

1.3 可變模糊多目標決策模型

1965年Zadeh創建的模糊集合是對普通集合的突破［14］，但模糊集合概念與定義的基石——隸屬函數存在靜態化的缺陷.在此基礎上，可變模糊集理論根據自然辯證法中關于中介、差異、共維、兩極的概念及客觀事物矛盾運動變化的原理，建立了以對立模糊集概念為基礎的模糊可變集合與可變模型集［15－16］.基本定義如下：

定義1 設論域U中的任意元素u的對立模糊概念或u對立的兩種基本模糊屬性，以與表示.在連續統區間［1，0］（對）與［0，1］（對）的任一點上，對立的兩種模糊屬性的相對隸屬度分別為，且.令

設s表示類別h的m個指標特征值規格化數，樣本j與類別h之間差異的廣義指標權距離公式為

為求解樣本j隸屬于類別h的最優相對隸屬度u＊hj，引入以相對隸屬度uhj為權重的加權廣義指標權距離

建立目標函數［17－18］

滿足約束條件

其中α為可變優化準則參數，α＝1、2分別為最小一、二乘方準則；p為可變距離參數，可取海明距離p＝1，歐式距離p＝2.

1.4 求解步驟

為將條件（10）極值（9）求解問題轉化為無條件極值求解問題，構造拉格朗日函數（λu、λw分別為變量uhj、wi的拉格朗日乘子）：

并將c級識別簡化為2級識別，則可得樣本j對1級（優級）的相對隸屬度

設計以下算法：

（1）對指標特征值矩陣X＝（xij）m×n按式（2）～（3）轉變為指標特征值規格化矩陣R＝（rij）m×n；

（2）將指標特征值規格化矩陣R代入模型（5）求得對應于各指標的最優目標權重矩陣W＝（wi（j））m×n；

（3）分別取α＝1、2，p＝1、2的4種組合按式（12）計算樣本j的相對優屬度；

（4）對4種組合相對優屬度值求平均，得相對優屬度向量；

（5）按值從大到小的順序排序即得指標特征值矩陣的排序；

（6）結束.

2 應用研究

為驗證模型的有效性，將評價結果與DEA結果、文獻［12］中建立的相對距離模型和文獻［19］中TOPSIS模型結果進行對比分析，結果見表3.其中sj表示樣本點相對理想點的距離變量，s＊j為樣本點與理想點距離，s－j為樣本點與非理想點距離，c＊j為樣本點與最理想點的相對接近度.

各模型對比分析結果如下：

首先，DEA 可以看作是處理多輸入多輸出問題的多目標決策方法［13］.評價中可能出現多個目標同時達到有效的狀態，不利于決策者選擇.如算例中除樣本4為最劣樣本外，其余樣本均達到效率值為1的最優樣本的條件.本文算法根據DEA生成的客觀權重進行再評價，在模型的4種組合下均產生唯一排序，最劣樣本與DEA 算法一致.

其次，可變模糊模型中要求在評估前人為確定各指標權重，采用主觀賦權的方法，各項指標權重之和為一，即不同于主觀賦權所采用的專家經驗，本文算法在權重的求解與計算方面根據樣本數據特點挖掘數據指標間存在的客觀關系，分析出樣本集合中處于相對最優情況的樣本個體，利用數學規劃的手段在Pareto有效前沿下生成客觀權重矩陣，放寬了可變模糊模型中指標權重之和為一的約束條件.

第三，應用TOPSIS算法對樣本進行排序.由于文獻［19］所采用的數據規格化公式不同于本文，為增加排序結果的可對比性，降低數據規格化方式不同對最終排序造成的影響，本文對樣本原始數據采用相同的規格化公式，即式（4）～（5）重新計算，計算流程及理論分析如文獻［19－20］所述.所用專家指標權重依次為0.001 0、0.001 0、0.325 4、0.634 6、0.001 0、0.001 0.排序 的 結 果如表3后3 列所示.TOPSIS算法在樣本數據較接近的情況下，理想點和非理想點向量所構成的中垂線上及靠近非理想點的中垂線部分，不同衡量標準下樣本點排序存在不合理的現象［20］.易見s＊j、s－j的排序存在差別，除樣本3、4、5外均不能同時滿足“距離理想點越近越優”和“距離非理想點越遠越優”的一致性條件，最大的排序偏差發生在樣本7，按s＊j排序第5，按s－j排序第1.最終排序是前兩種排序的折中排序，最優樣本為樣本10.

當α＝1，p＝2時，可變模糊模型具體化為TOPSIS模型，因此二者存在的具體差別在于權重的確定.從識別最優樣本的角度考慮，本文算法基于客觀權重計算樣本10 為最優樣本，與TOPSIS專家權重產生的最優樣本結果一致，證明了客觀權重的可適用性.因此能夠適用于由于事前信息量不足而造成的專家權重難以確定或專家意見不統一的情況.

表1 10輛汽車的6項指標數據Tab.1 Data for ten cars with six criteria

表2 可變模糊決策模型相對優屬度計算結果Tab.2 Relative optimal membership degrees of variable fuzzy decision－making model

表3 可變模糊、DEA、相對距離、TOPSIS模型的汽車排序結果Tab.3 Ranking for the car example from the variable fuzzy，DEA，relative distance，TOPSIS models

最后，同文獻［12］中建立的相對距離模型進行比較分析.相對距離模型的原理為根據DEA模型生成客觀權重，在此基礎上引入相對距離的思想，刻畫樣本點和理想點之間的相對差異，并根據此差異生成最終的樣本排序.因此，在對最優、最劣樣本的識別上應與DEA 模型產生的排序結果保持一致.從數據結果可以看出，相對距離模型滿足了理想點與非理想點距離之和為一的要求，但其排序卻不能與DEA 模型排序結果相符，如DEA 模型下，樣本4排序第10，相對距離模型中樣本4排序第7.其次，該模型所用為原始數據，未進行規格化處理.由于樣本數據可能存在較大的離散型，導致規劃求解難以滿足wi＞ε的條件，因此模型在約束中增加了理想點與非理想點的比例系數b，即wi（Y＊i－Y－i）＝b.然而，比例系數b的設定需要人為主觀確定，在建模思想上與該相對距離模型利用數據生成客觀權重的思想不統一.

3 結 論

本文采用客觀賦權的方法，從多個指標中尋找使目標樣本趨于最優的權重集合，并利用可變模糊集合理論的對立統一思想對樣本進行計算排序.該模型解決了DEA 評價結果不唯一的問題.

在可變模糊模型中引入DEA 客觀權重，權重的計算基于樣本數據不同指標的綜合表現.首先，在DEA 計算生成的客觀權重矩陣下，可變模糊的4種不同組合模型能夠產生一致排序.客觀權重矩陣的引入放寬了可變模糊模型中對權重之和為1的約束條件，算例結果證明客觀權重矩陣能夠應用于可變模糊模型.其次，4組模型的相對優屬度和相對劣屬度排序結果在“距離理想點越近越優”和“距離非理想點越遠越優”兩個標準下分別產生相同的排序結果，且二者之和為1，故模型適用于決策者無法確定優選衡量標準的情況.第三，TOPSIS算法是可變模糊模型取α＝1，p＝2時的特例，從擇優的角度出發，應用客觀權重的可變模糊方法和應用主觀權重的TOPSIS方法能夠識別出相同的最優樣本.在這一特點下，考慮權重客觀度的可變模糊多目標決策模型更適用于決策偏好信息不完全或專家意見不統一時所導致的權重標準難以確定的情況.最后，客觀賦權法的決策或評價結果相對比較合理、客觀，可操作性和實用性強.綜上所述，此法為解決偏好信息不完全下的多目標決策問題提供了一條新的途徑.

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