基于擬合與粒子群優(yōu)化的VG方程參數(shù)估計

曹懷火，歐陽艾嘉，艾海男

1.池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系，安徽 池州 247000

2.湖南大學(xué) 計算機(jī)與通信學(xué)院，長沙 410082

3.重慶大學(xué) 三峽庫區(qū)生態(tài)環(huán)境教育部重點實驗室，重慶 400045

1 引言

土壤水分特征曲線是表征土壤含水率與土壤水吸力的關(guān)系曲線，是定量研究土壤水分運動的重要參考。影響土壤水分特征曲線的因素非常復(fù)雜，通常情況下難以從理論上得出確定的關(guān)系式。因此，人們尋求一些經(jīng)驗公式來數(shù)值模擬土壤水分特征曲線，目前國內(nèi)外最為普遍使用的描述土壤水分特征曲線的Van Genuchten方程[1]（簡稱VG方程）是美國學(xué)者Van Genuchten在1980年提出的，其具體表達(dá)式為：

其中θ為土壤含水率（m3/cm3）；h為土壤水吸力（cm）；θs為土壤飽和含水率（cm3/cm3）；θr為土壤殘余含水率（cm3/cm3）；α,m,n為土壤水分特征曲線形狀參數(shù)，m=1-1/n，n>1。

通常對于求解VG方程式（1）的參數(shù)估計問題采用間接法，即轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化模型（2）的求解問題：

其中θi為實測土壤含水率；hi為實測土壤基質(zhì)勢；N為實測數(shù)據(jù)組數(shù)。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法[2-5]大多基于梯度計算，計算效率比較高，但由于其固有的局部優(yōu)化性，并不適合于全局優(yōu)化問題的求解。于是很多學(xué)者對求解VG方程的參數(shù)估計問題引入了智能進(jìn)化算法，如遺傳算法、粒子群算法等[6-8]，同時也取得了一定的效果。

由于遺傳算法和粒子群算法受初值影響，易于產(chǎn)生局部最優(yōu)解等缺陷，目前很多學(xué)者給出了一些改進(jìn)的遺傳算法[9]和改進(jìn)的粒子群算法[10]。為了提高粒子群算法的收斂概率和減少迭代次數(shù)，綜合文獻(xiàn)[11-12]方法的思想，將lsqcurvefit擬合方法與粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合，構(gòu)造一種新的混合型粒子群優(yōu)化算法，并用于求解VG方程的參數(shù)估計問題。該算法不僅包含粒子群算法的全局搜索能力，還具有l(wèi)sqcurvefit擬合函數(shù)較強(qiáng)的局部優(yōu)化能力。

2 算法構(gòu)造

2.1 粒子群優(yōu)化（PSO）算法簡介

粒子群優(yōu)化算法是一種進(jìn)化計算技術(shù)，它是模仿鳥群或魚群的社會行為而提出的算法。首先初始化一群隨機(jī)粒子，然后粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索，即通過迭代找到最優(yōu)解。假設(shè)d維搜索空間中的第i個粒子的位置和速度分別為Xi=(xi1,xi2,…,xid)和Vi=(vi1,vi2,…,vid)，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個最優(yōu)解來更新自己，第一個就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，即個體極值pbest，Pi=(pi1,pi2,…,pid)；另一個是整個種群目前找到的最優(yōu)解，即全局最優(yōu)解gbest，在找到這兩個最優(yōu)解時，粒子根據(jù)如下公式來更新自己的速度和新的位置：

其中w為慣性權(quán)因子，c1和c2為正的學(xué)習(xí)因子，r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2.2 基于Lsqcurvefit擬合的粒子群優(yōu)化算法

PSO算法的搜優(yōu)速度在一定程度上快于其他進(jìn)化算法，但卻存在全局搜索能力極強(qiáng)而局部尋優(yōu)能力比較差，也就是說該算法可以用于極快的速度搜索到最優(yōu)解附近，但要進(jìn)一步達(dá)到最優(yōu)解則速度很慢。為了加快局部尋優(yōu)能力，將lsqcurvefit擬合方法與PSO算法相結(jié)合，構(gòu)造一種新的混合型粒子群優(yōu)化算法（LPSO算法），其基本思路是在進(jìn)化過程當(dāng)中利用非線性擬合函數(shù)lsqcurvefit優(yōu)化初始種群，通過lsqcurvefit函數(shù)較強(qiáng)的局部優(yōu)化能力來提高收斂速度，進(jìn)而同時具有PSO算法的全局優(yōu)化能力和lsqcurvefit擬合方法的高效局部優(yōu)化能力。主要步驟如下：

步驟1隨機(jī)初始化種群中各微粒的位置和速度，并確定粒子種群規(guī)模N、學(xué)習(xí)因子c1，c2以及慣性權(quán)因子w。

步驟2用Matlab中的非線性擬合函數(shù)lsqcurvefit優(yōu)化初始種群位置，其調(diào)用格式為：

其中X為優(yōu)化后的初始種群，resnorm為要返回的殘差平方和，fun為擬合函數(shù)，x0為初始種群，xdata、ydata分別為實測數(shù)據(jù)。

步驟3計算每個微粒的適應(yīng)值，并將當(dāng)前各微粒的位置和適應(yīng)值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中適應(yīng)值最優(yōu)個體的位置和適應(yīng)值存儲于gbest中。

步驟4用式（3）～（4）更新各微粒的速度和位移。

步驟5對于每個微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置作比較，如果較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置。

步驟6比較當(dāng)前所有pbest和gbest的值，更新gbest。

步驟7若滿足停止條件，搜索停止，輸出結(jié)果，否則返回步驟4繼續(xù)搜索。

3 數(shù)值實驗與結(jié)果分析

3.1 數(shù)值實驗

為了驗證所提出的LPSO算法的優(yōu)化性能和優(yōu)化精度，以石家莊農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化研究所欒城實驗站提供的土壤數(shù)據(jù)[3]為例。算法的參數(shù)設(shè)置為：學(xué)習(xí)因子c1=c2=1.2，粒子數(shù)N=200，慣性權(quán)因子w=0.45，最大迭代次數(shù)為1 000次。在計算過程當(dāng)中，參數(shù)α，n，θs，θr的取值范圍為[0，5]。

驗證分成兩部分。第一部分是分別采用LPSO算法與PSO算法進(jìn)行求解VG方程參數(shù)的40次數(shù)值實驗，以分析其能夠收斂的次數(shù)、收斂效率以及收斂迭代次數(shù)來比較兩者的優(yōu)缺點。第二部分從最優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)值的角度，分別采用lsqcurvefit擬合方法、PSO算法和LPSO算法對VG方程的參數(shù)進(jìn)行估計，以比較LPSO算法與PSO算法以及l(fā)sqcurvefit擬合函數(shù)的最優(yōu)值。

3.2 結(jié)果分析

表1給出了LPSO算法與PSO算法的優(yōu)化性能結(jié)果比較。由表1可以看出，LPSO算法的收斂次數(shù)為40次，收斂概率為100%，而PSO算法的收斂次數(shù)僅有7次，收斂概率為17.5%。由此可見，在收斂性能上，由于LPSO算法引入lsqcurvefit擬合函數(shù)，使其收斂效率比PSO算法大大提高。從收斂時迭代次數(shù)的分布來看，LPSO算法的收斂迭代次數(shù)在區(qū)間[101，200]的次數(shù)最大達(dá)到22次，而PSO算法在區(qū)間[101，200]的收斂迭代次數(shù)僅有3次。因此，LPSO算法與PSO算法相比，不但收斂效率提高，而且收斂迭代次數(shù)也大大增加。

表2給出了lsqcurvefit擬合方法、PSO算法和LPSO算法估計VG方程參數(shù)的函數(shù)最優(yōu)值結(jié)果比較。由表2可以看出，LPSO算法的結(jié)果要比lsqcurvefit擬合[3]方法、PSO算法的結(jié)果都小一些。另外，lsqcurvefit擬合方法對參數(shù)初值的依賴很強(qiáng)，而LPSO算法沒必要給出各參數(shù)的初值。綜合可見，LPSO算法對參數(shù)估計的結(jié)果要優(yōu)于lsqcurvefit擬合方法和PSO算法計算的結(jié)果。

表1 VG方程的粒子群算法優(yōu)化性能比較

表2 VG方程的參數(shù)估計結(jié)果比較

4 結(jié)束語

本文將lsqcurvefit擬合方法與粒子群（PSO）算法相結(jié)合，實現(xiàn)了不同土樣的土壤水分特征曲線VG方程的參數(shù)估計，并與PSO算法和lsqcurvefit擬合方法相比較，結(jié)果表明了LPSO算法求解VG方程參數(shù)效果更好，避免了初值選取和陷入局部最優(yōu)解的問題。另外該算法也可適用于其他類似的非線性參數(shù)估計問題。

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