攻防對抗中追逃雙方的最優策略及其參數分析

黑高源

(中國空空導彈院，河南洛陽 471009)

微分對策的一些概念最早可以追溯到20世紀50年代，幾乎與現代控制理論同時產生，并且稍后出版了這方面的專著［1］，在可查的文獻中主要涉及兩類模型，分別是 LQDG［2］和 NDG［3－5］，文獻［6］的研究從攔截方的角度出發，分別給出了兩種模型下，保證脫靶量為零時各參數應滿足的條件，并對兩種指標下導彈的攔截性能進行了比較。但本文將兩種模型合二為一，并以此討論追逃雙方的策略問題。

1 系統模型及簡化

若追逃雙方的相對距離相對于它們的地心矢徑足夠小，同時考慮自動駕駛儀是一階慣性環節，用 τi(i=e，p)和ai(i=e，p)表示逃脫方和攔截方的時間常數以及指令加速度，則攻防對抗過程可以簡化單變量系統［1］:

其中 h(ξ)=e－ξ+ ξ－1，tf是脫靶時刻，z表示 t時刻的零控脫靶量。LQDG模型隱含能量約束，NDG模型強調加速度限制，而實際情況必然既有能量約束又含加速度限制，因此得到如下模型:

記初始時刻和脫靶時刻的零控脫靶量分別為z0和zf。t時刻的剩余飛行時間為τ=t－tf，初始時刻的剩余時間記為τ0，可知zf也是實際的脫靶量。

2 攻防參數分析

2.1 攻防雙方的最優策略及可控性條件

根據微分對策的基本原理，攻防雙方的最優策略以及在最優策略下它們各自的位移偏差可以簡化為:

ti=max［t0，min(t'，tf)］且 fi(t')=Ki。若把 τ0和 zf中涉及 t0的項換成當前時刻t，同時Ei(i=e，p)表示當前剩余能量，則式(3)表示閉環控制，否則為開環控制。令

定義函數:

gL(τ0)=f(Ap，Kp，τp)－ f(Ae，Ke，τe)+L，則有逃脫區域Ie:{(τ0，z0)|z0＞g0(τ0)且 z0＞0}和攔截區域 Ip:{(τ0，z0)|0＜z0＜g0(τ0)}。圖1 中描繪了當 τp/τe=0.5，5，0.1 時曲線g0(τ0)的變化情況。從中可以看出時間常數越小，相應的可攔截區域或可逃脫區域就越大。事實上，一階慣性環節相當于延遲環節，而延遲的時間就是時間常數，如果一方的延遲的時間越小，那么它相對另一方提前機動的時間就越長，從而在對抗中處于更有利地位。另外一方提前機動引起的速度位移的變化會隨著時間積累，這也是圖中當τ0越大時g0(τ0)相差也越大的原因。

圖1 時間常數對逃脫區域的影響

2.2 理想條件下最優策略分析

一階系統對應的最優策略的形式較復雜，不便于分析能量和加速度約束對攻防雙方的影響。由上節，當τi→0(i=e，p)時得到理想環節下攻防雙方的最優策略:

圖2給出了各種條件下攻防雙方相應區域的變化情況。從中可以看出，能量和加速度越大，就越有利于攻防雙方作戰目標的實現。對逃脫方而言，當加速度足夠大時存在絕對逃脫區域，但不論攔截方的加速度和能量有多大都不存在一個絕對攔截區域，從這種意義上說攔截的難度要大于逃脫的難度。實際空戰情況下，能量越大意味消耗燃料越多以及飛行航向的偏離越大，因此空空導彈和飛機都傾向于提高機動能力(加速度)以較小的代價(能量)實現自己的作戰目標。實際上當(Ep－Ee)×(Ap－Ae)＜0時，g0(τ0)=0除了存在零解還有一個非零解，若加上一階環節，還有其它非零解，不過近似為零。定義時間窗口:

圖2 理想系統下的機動區域分析

3 仿真算例

攻防雙方的最優策略具有相似性，本節主要從飛機的角度考察其最優策略的相關結論。假定雙方的機動策略都按能量都不受限制的情況給出，同時有Ae=30，Ap=20，則由前文公式可得飛機的時間窗口是(0，30)，最佳機動時刻τ1=18，窗口深度R=900。仿真結果如表1。

表1 采用最優策略時的脫靶情況

從表1可以看出最終脫靶量L=|z0|－g(τ0)，飛機在時間窗口內總能逃脫，尤以在最佳機動時刻開始機動時的脫靶量最大。

4 結束語

攻防對抗中，追逃雙方的機動能力——加速度和能量，對脫靶量有重要影響，本文給出的可控性條件定量的描述了這種影響，并在此基礎上分析了時間常數對逃脫區域和攔截區域的影響。本文還給出了時間窗口、最佳機動時刻和窗口深度3個概念，它們和最優策略一起回答了什么時間機動、如何機動和脫靶量有多少等攻防對抗中的重要問題，這對武器設計以及實戰都有重要意義。

［1］ Isaacs R.Differential games［M］.New York:Willey，1965.

［2］ Ben-Asher J，Yaesh I.Advances in Missile Guidance Theory［R］.Reston，VI:AIAA，In Progress in Astronautics and Aeronautics，1998，180:25 －35.

［3］ Gutman S，Leitmann G.Optimal Strategies in the Neighborhood of a Collision Course［J］.AIAA，1976，14:1210－1212.

［4］ Gutman，S.On Optimal Guidance for Homing Missiles［J］.Journal of Guidance and Control，1979 3(4):296 －300.

［5］ Shinar J.Solution Technics for Realistic Pursuit-Evasion Games［R］.New York:Academic Press，In C.T.Leonides(Ed.)，Advances in Control and Dynamic Systems，1981，17:63－124.

［6］ Turetsky V，Shinar J.Missile Guidance Laws Based on Pursuit-Evasion Game Formulations［J］.Automatica，2003，39:607－618.

［7］ 畢蘭金，李耀陽，武志東.反艦導彈末端蛇行機動突防效果仿真［J］.海軍航空工程學院學報，2010(3):252－254.

［8］ 王敬強，駱魯秦，張曉杰，等.拖曳式誘餌對末制導雷達的干擾分析［J］.四川兵工學報，2011(11):86－87.

［9］ 李士勇，章錢.CMAC與變結構復合控制的新型導引律［J］.火力與指揮控制，2011(2):46 －49.

(責任編輯周江川)