對一道穩(wěn)度競賽訓練題解法的商榷

陳新華

（常州市第一中學，江蘇 常州 213003）

華東師范大學出版社出版的高中物理競賽考前訓練《賽前集訓》一書第13頁第9題如下：

一個具有正方形截面的均勻長木塊浮在水中，這個木塊或以兩個相對的側面平行于水面，或以4個側面都和水面成45°角，如圖1所示，試問其平衡后的位置可能是圖中的哪一種？說明理由（設水的密度為ρ0，木塊的密度為ρ）.

圖1

原書所給的參考解法如下：

圖2

點評：這是一個比較物體穩(wěn)度的計算題，一般來說，穩(wěn)度跟物體的重心高度和支面大小有關，重心越低、支面越大時穩(wěn)度越高.本題就是根據(jù)重心的高低來判斷物體的穩(wěn)定程度.其關鍵就在于判斷ha和hb的大小.參考解法的（2）、（3）兩問中，分別算出了ha，hb，比較兩者大小時，用了極限法比較，但極限法討論的重要前提是函數(shù)必須是單調變化的，實際上，由第（2）問的數(shù)據(jù)，k增大，ha，hb都增大，單從k＝1這一特殊點來比較兩者的大小，顯然是不夠嚴密，而筆者通過以下運算，發(fā)現(xiàn)（2）、（3）兩問的條件下并非單調函數(shù)，用特殊點的運算來代表整個過程顯然是不嚴密的.

以上是筆者對此題解法嚴密性的一些補充.仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)用幾何方法解決此題更為便捷.

如圖3，按1、2、3三條虛線所示的位置來考慮.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

反思：這是一個關于穩(wěn)度問題的討論題，但卻向我們展示了求極值和比較大小問題的一般處理方法：作差求函數(shù)的極值，本題中作差所得的函數(shù)比較復雜，帶有根號，所以并沒有直接求函數(shù)的極值，而是用解不等式的方法間接求臨界值進行討論.也提醒我們除非已經很明確函數(shù)的單調性，否則用某些特殊點的值來代表整個函數(shù)進行比較，往往會失之不嚴密.

用幾何方法討論，大大減少了運算量，避免了解二次函數(shù)，并且物理意義較為明晰.但幾何方法解題對物理思維的要求較高，輔以幾何圖形和輔助線則可以提高處理問題的精確性.