關于比較判別法及其極限形式的一點注記

周學君

(黃岡師范學院 數學與計算機科學學院，湖北 黃州438000)

在《數學分析》這門專業基礎課的講授過程中，筆者發現在討論無窮積分斂散性的方法時，對于比較判別法及其極限形式的談論不多，引起了許多讀者的疑問.

事實上，比較判別法是一種重要而且實用的判別斂散性的方法，而且對于后續所介紹的其他的判別法有很強的理論指導意義.在《數學分析》理論體系中，從函數的單調有界定理出發，導出關于無窮積分絕對收斂的比較判別法.通過比較兩個函數在某個區域內的大小關系，利用其中一個函數的無窮積分的斂散性，去判別另外一個函數的無窮積分的斂散性.比較判別法具有一種使用更為便捷的極限形式，文獻中對于極限形式的證明和二者之間的深層關系，缺乏詳盡論述.本文針對比較判別法及其極限形式的關系進行深入探討.

1 預備知識

先回憶一下無窮積分的絕對收斂比較法則及其推論.

2 主要結論

則有:

在無窮積分斂散性的諸多判別法中，比較判別法及其極限形式是第一種方法，是后續介紹的判別法的基礎，地位特殊顯得尤為重要.再者在實際應用中，該方法的使用頻率很高，價值大.本文筆者結合實際教學經驗，給出一些見解，供讀者參考.

［1］ 華東師范大學數學系.數學分析(上冊)(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2001:270 －275.

［2］ 劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義(下冊)(第五版)［M］.北京:高等教育出版社，2008:161 －165.

［3］ 陳紀修，於崇華，金路.數學分析(上冊)(第二版)［M］.北京:復旦大學出版社，2004:269 －273.

［4］ 歐陽光中，朱學炎，金福臨.數學分析(上冊)(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2007:71 －75.