Ohta-Hirota 方程的延拓結(jié)構(gòu)及Lax 對(duì)

沈柳平

(柳州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西 柳州545004)

1 延拓結(jié)構(gòu)理論

為簡便起見，討論KdV 方程［1］

的延拓結(jié)構(gòu).先引入新的獨(dú)立變量ux=p，uxx=px=q，這樣(1)式可寫成如下一階偏微分方程組

在流形M={x，t，u，p，q}上定義一組外微分2 －形式

其中d 表示外導(dǎo)數(shù)，∧表示外積.(3)式前2 項(xiàng)對(duì)應(yīng)于引入新變?cè)捻?xiàng)，后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于原始方程的項(xiàng).對(duì)(3)式作外微分，可得

因此I={α1，α2，α3}在流形M上構(gòu)成閉理想，當(dāng)αi(i=1，2，3)限制到解流形U={u(x，t)，p(x，t)，q(x，t)}上為零時(shí)，則可以回到方程(1).

2 Ohta－Hirota 方程的延拓結(jié)構(gòu)及Lax 對(duì)

有下面的結(jié)論.

定理 如果閉理想I={αi，ωi}限制到流形S上為零，則Ohta－Hirota 方程存在Lax 對(duì).

證明:首先引入新獨(dú)立變量vx=r，vxx=s，Ux=p，Uxx=q，則在流形S={x，t，v，U，r，s，p，q}上定義微分2 －形式

易證I={αi，i=1，2，…，6}是閉理想［4］.根據(jù)延拓結(jié)構(gòu)理論，將I限制到解流形S={x，t，v(x，t)，U(x，t)，r(x，t)，s(x，t)，p(x，t)，q(x，t)}上為零時(shí)，則可回到方程(5). 下面來找Ohta －Hirota 方程的Lax 對(duì).

引進(jìn)n個(gè)微分1 －形式

將以上生成元代入到(10)、(11)、(13)、(15)式中，可得F和G的具體表達(dá)式

由相容性關(guān)系yxt=ytx，便可得方程(5).

［1］ Huang N N. Darboux transformation of KdV equation［J］. Phys，1992，A25:469 －475.

［2］ Humphreys J E.Introduction to Lie algebras and representation theory［M］. Berlin:GTM Springer，1972.

［3］ YOhta O R，Hirota R. Quasideterminant solutions of a non－Abelian Hirota－Miwa equation［J］. Phys Soc Jpn，2007，76:24 －35.

［4］ Geng X G ，Wu Y T. From the special 2 +1 Toda lattice to the Kadomtsev－Petviashvili equation［J］. Math Phys，1997，38:3069 －3077.