關于四個收斂性的一個例子

王 龍

(上海師范大學 數理學院，上海200234)

劉寶碇教授在2007 年提出了基于規范性、對偶性、次可加性、乘積測度公理的不確定理論［1］，在不確定理論的公理化體系下又相繼提出了不確定規劃、不確定風險分析和不確定可靠性分析等，它成為了處理含有不確定變量模型的強有力工具.如今不確定理論在期權定價［2－4］，不確定邏輯輯［5－8］，結構可靠性分析［9－11］，不確定推理［12－13］，不確定風險值及尾部風險值［14］等領域中得到了廣泛的應用.并且不確定理論已經在相關領域中取得了很多令人矚目的成就，得到廣大學者的認可和學習.

劉寶碇教授在不確定理論一書中定義了幾乎處處收斂、平均收斂、依測度收斂和依分布收斂的概念［15］，并證得平均收斂可以推出依分布收斂和依測度收斂.本文將通過一個算例來研究在不平均收斂的情況下，考察依測度收斂、依分布收斂和幾乎處處收斂的斂散性問題，并針對這個問題給出一個不平均收斂的算例，來討論在這個算例下的斂散性.

1 不確定理論基礎知識

定義1.1［15］設Γ 是一個非空集合L是Γ 上的一個σ－代數，L中的每一個元素Λ 稱為一個事件.若L上的集函數M滿足以下公理

公理1 (規范性)對全集Γ 有M{Γ}=1;

公理2 (對偶性)對任意的事件Λ ∈L，有M{Λ}+ M{Λc}=1;

公理3 (次可加性)對任意的事件列{Λi}，有

公理4 (乘積測度)設Γk是非空集合，Mk分別為其上的不確定測度，k =1，2，…，n.則乘積測度M是乘積σ－代數L1× L2×…× Ln上的不確定測度，且滿足

則稱集函數M 為不確定測度，并稱三元組(Γ，L，M)為不確定空間.

定義1.2［15］不確定變量ξ 是從不確定空間(Γ，L，M)到實數集的一個可測函數，即對于實數上的任意Borel集，{γ|ξ(γ)∈B}∈Γ 是一個事件.

定義1.3［15］設ξ 是不確定變量，如果M{ξ＜0}=0，則稱ξ 為非負的.

定義1.4［15］不確定變量ξ 的分布函數Φ 定義為Φ(x)= M{γ|ξ(γ)≤x}.

定義1.5［15］如果對每一個α ∈(0，1)，它的逆函數Φ－1(α)唯一存在，那么不確定分布Φ 稱為正則的.

定義1.6［15］如果ξ 是一個不確定變量且正則不確定分布為Φ，那么逆函數Φ－1(α)稱為不確定變量ξ 的逆不確定分布.

定義1.7［15］設ξ 是一個不確定變量，則ξ 的期望值被定義為

其中至少有一個積分是有限的.

定義1.8［15］如果不確定變量ξ 有之字形不確定分布

則稱不確定變量ξ 為之字形，記作ξ～Z(a，b，c)且a ＜b ＜c.

定義1.9［15］設ξ，ξ1，ξ2…是不確定變量，如果對于每一個ε＞0，都有則稱序列{ξi}依測度收斂于ξ.

定義1.10［15］假設不確定變量ξ，ξ1，ξ2…的不確定分布分別為Φ，Φ1，Φ2…，如果對任意的x∈R，，則稱序列{ξi}依分布收斂于ξ.

定義1.11［15］假設不確定變量ξ，ξ1，ξ2…且有有限的期望值，如果則稱序列{ξi}平均收斂于ξ.

定義1.12［15］假設ξ，ξ1，ξ2…是定義在不確定空間(Γ，L，M)，如果存在事件Λ 且M{Λ}=1，使得則稱序列{ξi}幾乎處處收斂于ξ.

定理1.1［15］設ξ 是一個不確定變量且正則不確定分布為Φ，如果期望值存在，那么E［ξ］=

定理1.2［15］如果不確定變量ξ 是之字形的，那么ξ 的逆分布為

2 算例

例 設ξi，ξ 是定義在不確定空間(Γ，L，M)上的不確定變量，且ξ ～Z(a，b，c)，ξi～Z(ai，bi，ci)，i=1，2，…，當i→∞時，ai→a，bi→b，ci→c，其中c＞b＞a.試討論不確定變量ξi，ξ 的如下關系:

(1)ξi是否依分布收斂于ξ?

(2)ξi是否平均收斂于ξ?

(3)ξi是否依測度收斂于ξ?

(4)ξi是否幾乎處處收斂于ξ?

證 因為ξ ～Z(a，b，c)，所以ξ 的不確定分布為

設Ψ1，Ψ2分別是不確定變量(ξi －ξ)和(ξ－ξi)的不確定分布，相應的逆不確定分布分別為Ψ1－1(α)和Ψ2－1(α).由不確定理論的運算法則可知且

從而ξi依分布收斂于ξ.

(2)由期望值定義，得

從而當i→+∞時，E［|ξi－ξ|≥ε］→0，所以ξi依測度收斂于ξ.

(4)在不確定空間(Γ，L，M)中，由ξ 和ξi的不確定分布，易得其密度函數分別為

取Γ=［a，c］，令ξ(γ)=γ，當x∈［a，b］時，則M{ξ(γ)≤x}=(x － a)/2(b － a).當x∈［b，c］時，則M{ξ(γ)≤x}=(x + c －2b)/2(c － b).

同理取Γ=［ai，bi］，令ξi(γ)=γ.

當x∈［ai，bi］時，則M{ξi(γ)≤x}=(x － ai)/2(bi － ai).當x∈［bi，ci］時，則M{ξi(γ)≤x}=(x+ ci －2bi)/2(ci － bi).

又因為i→+∞時，［ai，bi］→［a，b］，［bi，ci］→［b，c］且［ai，ci］→［a，c］，

本文列舉了一個算例，并通過本算例給出了證明不確定理論中四個收斂的具體過程，也即證明了對于之字形的不確定變量不是平均收斂的，而是依分布收斂、依測度收斂和幾乎處處收斂的.同樣，對于線性的或正態的不確定變量仍然可用同樣的方法推理證明.參考文獻:

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