并聯機床的動力學特性對加工精度影響的分析

許兆棠， 劉遠偉， 汪通悅， 吳海兵

(1.淮陰工學院江蘇省數字化制造技術重點實驗室，淮安 223003;2.淮陰工學院 交通工程學院，淮安 223003)

并聯機床的動力學特性對加工精度影響的分析

許兆棠1，2， 劉遠偉1， 汪通悅1， 吳海兵1

(1.淮陰工學院江蘇省數字化制造技術重點實驗室，淮安 223003;2.淮陰工學院 交通工程學院，淮安 223003)

為了提高并聯機床的加工精度，分析了并聯機床的動力學特性對加工精度的影響。根據牛頓－歐拉方程，得到并聯機床的動力學方程，解得連桿的驅動力;根據桿件軸向伸長量與受力之間的關系，得到連桿的長度誤差;以無長度誤差的連桿長度為優化目標，用優化的方法，得到動平臺的位姿，并與連桿有長度誤差時動平臺的位姿比較，得動平臺的位姿誤差;根據刀具在動平臺坐標系中位置，得刀具加工位置誤差及對被加工零件精度的影響。結果表明:并聯機床連桿的長度誤差，引起刀具加工位置誤差，使被加工零件產生形位誤差和尺寸誤差;并聯機床電主軸偏心引起連桿的長度誤差的擾動，產生刀具加工位置的擾動誤差，影響被加工零件的表面粗糙度。

并聯機床;連桿的驅動力;連桿的長度誤差;動平臺位姿誤差;加工位置誤差

并聯機床的動平臺等運動產生慣性力和連桿等受力使連桿產生伸長或縮短，影響并聯機床的加工精度，并影響被加工零件的精度。并聯機床被認為剛度大，只能定性說明并聯機床在加工過程中變形小，并不能說明動平臺等運動產生的慣性力和連桿等受力對并聯機床加工精度的影響有多大。要獲得高加工精度的并聯機床，尤其是高精度的高速加工并聯機床，需要從動平臺等運動產生慣性力和連桿等受力方面，認識并聯機床的動力學特性對并聯機床的加工精度及對被加工零件的精度的影響。

針對并聯機床的精度問題，單鵬等［1］對6自由度Stewart型并聯機床，以D－H變換矩陣為建模工具，建立包含鉸座位姿參數、桿件D－H參數的機床動平臺位姿方程，采用矩陣微分方法推導出一個機床位姿誤差線性化計算模型，進行位姿誤差計算。高猛等［2］利用D－H方法，計算得到工作空間內鉸鏈制造誤差對終端運動精度的影響規律。汪勁松等［3］將Stewart平臺的各條支鏈作為假想的單開鏈，利用D－H方法，推導出終端運動誤差和鉸鏈間隙誤差間的映射關系。Ropponen等［4］利用雅可比矩陣的奇異值分解，得到了Stewart平臺的結構參數和驅動誤差與終端誤差之間的關系。Patel等［5］利用誤差分析軟件圖形化分析了機構運動時的位置和姿勢誤差。李鐵民等［6］以6自由度6TPS型并聯機床為模型，利用雅可比矩陣的奇異值分解，得到影響位形精度的誤差綜合敏感度、誤差絕對敏感度和誤差方向敏感度，并以此作為評價不同位形運動精度的指標。胡明等［7］采用疊加原理，建立三自由度并聯機構驅動桿鉸鏈誤差模型，采用矩陣范數分析驅動桿鉸鏈誤差對動平臺終端運動精度的影響規律。姜虹等［8］提出根據球桿儀球桿理論識別與修正并聯機構結構誤差的算法。這些研究，未能從動平臺等運動產生慣性力和連桿等受力方面研究并聯機床的加工精度，未見相關研究的報道。

根據牛頓－歐拉方程，獲到交叉桿并聯機床的動力學方程，并解得連桿的驅動力;根據桿件軸向伸長量與受力之間的關系，得連桿的長度誤差;再以無長度誤差的連桿長度為優化目標，用優化的方法，通過并聯機床動平臺位姿的正解，計算得到動平臺的位姿，并與有長度誤差時動平臺的位姿比較，得動平臺的位姿誤差;根據刀具在動平臺坐標系中的位置和連桿無長度誤差時動平臺的位姿，計算得到連桿無長度誤差時刀具在定平臺坐標系中位置，并與連桿有長度誤差時的刀具在定平臺坐標系中位置比較，得刀具加工位置和加工半徑誤差及對被加工零件精度的影響。

1 并聯機床的運動學分析

交叉桿并聯機床［9］如圖1所示，定平臺1與花鍵套3通過萬向鉸Bi聯接，動平臺5與花鍵軸4通過萬向鉸bi聯接，花鍵套3與花鍵軸4為花鍵聯接，花鍵軸4的一端通過絲杠與伺服電機2聯接，電主軸6安裝在動平臺5的中心，刀具7安裝在電主軸6的下端。

在定平臺上建立定坐標系 O1ξηζ，原點O1在定平臺的重心;在動平臺上，建立與動平臺固結的動坐標系 Oxyz，原點O在動平臺的重心。在萬向鉸Bi上，建立連桿坐標系 Bixiyizi，原點 Bi在鉸鏈中心，zi軸過連桿Bibi的軸線，xi軸過萬向鉸的動軸線，yi軸用右手螺旋定則確定，i=1，2，…，6，圖 1中繪出B5x5y5z5。

在定坐標系下，第i根連桿Bibi的長度矢量:

式中:Po、bi、Bi分別為 O1O、Obi、O1Bi的長度矢量。

式(1)對時間求導，得定坐標系下第i根連桿的萬向鉸bi的速度:

式中:ωp為動平臺的角速度矢量。

另一方面，第i根連桿的萬向鉸bi的速度可表示為:

用wi對式(3)兩邊點積，再將式(2)代入，得:

再用wi對式(3)兩邊叉積，再將式(2)代入，得:

式(4)和式(5)分別對時間t求導，得:

2 并聯機床的動力學方程

2.1 第i根連桿的動力學方程

連桿受力如圖2所示，根據歐拉動力學方程，得連桿花鍵套轉動的動力學方程:

連桿花鍵軸沿軸線移動，對Bi點的轉動慣量是變量，在連桿花鍵軸的動量對時間求導中，連桿花鍵軸的轉動慣量對時間的導數是變量，不能直接應用轉動慣量是常量的歐拉動力學方程，要根據動量矩定理求連桿花鍵軸的動力學方程。根據動量矩定理，得連桿花鍵軸轉動的動力學方程:

圖2 連桿受力Fig.2 Force of a leg

式(8)和式(9)中:lBi、Ibi分別為連桿花鍵套和花鍵軸對Bi點的慣量張量，mbi為連桿花鍵軸的質量;Mci為連桿花鍵套對花鍵軸的作用力矩，MBfi、Mbfi分別為第i 根連桿在鉸鏈點 Bi、bi的摩擦力矩;GBi、Gbi分別為連桿花鍵套和花鍵軸的重力;lBi為連桿花鍵套的重心到鉸鏈點Bi的距離，lbi為連桿花鍵軸的重心到鉸鏈點bi的距離，lci為連桿花鍵套與花鍵軸的作用點到鉸鏈點Bi的距離;Fbi為第i根連桿鉸鏈點bi受到的作用力，Fci為第i根連桿的花鍵套對花鍵軸的正壓力。在式(9)中，等式左邊第3項由連桿花鍵軸的轉動慣量的變化產生。

合并式(8)、式(9)得連桿轉動的動力學方程:

式中:Ii=lBi+lbi為第i根連桿對Bi點的慣量張量。

將Fbi=Fxybi+Fzbi代入式(10)，Fzbi為沿連桿軸線方向第i根連桿鉸鏈點bi的作用力，Fxybi為垂直于連桿軸線方向第i根連桿鉸鏈點bi的作用力，再用wi叉乘式(10)，取第i根連桿在鉸鏈點Bi、bi的摩擦力矩 MBfi= －cbiωi、Mbfi= － cbi(ωi－ ωp)，并考慮含 Fzbi的項為零，得:

在動平臺的運動過程中，連桿的長度是變化的，連桿花鍵套與花鍵軸之間有摩擦力，考慮連桿花鍵套與花鍵軸間的摩擦力，根據牛頓方程，得連桿移動的動力學方程:

式中:abi為連桿花鍵軸的加速度，FBi為第i根連桿鉸鏈點Bi受到的作用力，cli為第i根連桿花鍵軸的阻尼系數。

取FBi、Fbi在連桿上的投影分別為 FlBi和 Flbi，FlBi和Flbi均是標量，FlBi是連桿的驅動力，也是伺服電機的推力。將Fbi=Fxybi+Fzbi代入式(12)，兩邊再點乘wi，并考慮含 Fxybi、Fci的項為零，FlBi=FBi·wi，Flbi=Fzbi·wi，Glbi=Gbi·wi，得:

2.2 并聯機床的動力學方程

根據牛頓方程，得動平臺的三角平臺和電主軸的定子移動的動力學方程:

電主軸的轉子移動的動力學方程:

將式(14)、式(15)的等號兩邊分別相加，得動平臺移動的動力學方程:

式中:mp為動平臺的質量矩陣，mp=msp+md，msp為動平臺的三角平臺和電主軸的定子的質量矩陣，md為電主軸的轉子的質量矩陣為動平臺坐標原點o的加速度，ae為電主軸轉子的質量偏心產生的加速度，Gsp為動平臺的三角平臺和電主軸定子的重力，Gd為電主軸轉子的重力，Gp為動平臺的重力，Gp=Gsp+Gd，Fd為電主軸定子與轉子間的作用力，Fc為作用在刀具上的外力。

根據歐拉動力學方程，得動平臺的三角平臺和電主軸定子轉動的動力學方程:

電主軸的轉子相對z軸勻速轉動，取電主軸轉子的角速度為ωp－dz，根據動量矩定理，得電主軸的轉子轉動的動力學方程:

考慮 ωp－dz= ωp+ ωdz，合并式(17)、式(18)，得動平臺轉動的動力學方程:

式中:Ip為動平臺對原點o慣量張量，Ip=Isd+Idz，Isd為動平臺的三角平臺和電主軸的定子對原點o慣量張量，Idz為電主軸的轉子對原點o慣量張量;ωp為動平臺的角速度，ωdz為電主軸轉子相對動平臺的角速度;Md為電主軸的轉子對定子的作用力矩，Tc為作用在刀具上的扭矩;Lc為oc的長度矢量，c點為刀具上外力的作用點。

3 連桿的驅動力

將 Fbi=Fxybi+Fzbi及式(11)、(13)代入式(16)及式(19)，得:

式(22)中，U是6×6的矩陣，W是6×1的矩陣，當已知動平臺的運動學參數及外載荷時，可得連桿的驅動力。

4 并聯機床加工中的誤差

4.1 第i根連桿的長度誤差

并聯機床運動時，連桿的驅動力使連桿伸長產生誤差，第i根連桿由連桿花鍵軸和絲杠組成，根據材料力學中桿件軸向伸長量與受力之間的關系［12］，略去第i根連桿的重量對其伸長量的影響，得第i根連桿的伸長量，也即第i根連桿的長度誤差:

式中:等式右邊第一項為連桿花鍵軸的長度誤差，等式右邊第二項為連桿絲杠的長度誤差，FlBi為第i根連桿的驅動力，El為第i根連桿的拉壓彈性模量，Ahi、Asi分別為第i根連桿花鍵軸和連桿絲杠的截面積，lhi－0為無長度誤差的第i根連桿花鍵軸的長度。

4.2 動平臺的位姿誤差

用動平臺的原點O在定平臺上的坐標描述動平臺的位置，用歐拉角描述動平臺相對于定平臺的姿態，用Q描述連桿有長度誤差時動平臺的位姿，用Q0描述連桿無伸長量時動平臺的位姿，也即連桿無長度誤差時的動平臺位姿，有:

Poη、Poξ和 Poζ分別為連桿有長度誤差時動平臺的原點O沿η、ξ和ζ方向的位置坐標，ψ、θ和φ分別為連桿有長度誤差時動平臺的進動角、章動角和自旋角，Poη－0、Poξ－0和 Poζ－0分別為連桿無長度誤差時動平臺的原點O沿η、ξ和ζ方向的位置坐標，ψ0、θ0和φ0分別為連桿無長度誤差時動平臺的進動角、章動角和自旋角。

Q0可用優化的方法求得，這可避開通過并聯機床動平臺位姿的正解獲得Q0的困難。取Q0為設計變量，無長度誤差的連桿長度為優化目標，其目標函數為:

并聯機床的結構尺寸為已知，給定Q，根據式(1)，可求得第i根連桿的長度li，li也為有長度誤差的連桿長度;根據式(23)，可求得第i根連桿的長度誤差Δli;根據式(24)，取初值為Q，用單純形等優化方法，可求得Q0。

動平臺的位姿誤差:

4.3 刀具加工誤差

連桿有長度誤差時刀具加工中心的位置:

連桿無長度誤差時刀具加工中心的位置:

動平臺的位姿誤差引起刀具的加工誤差，刀具加工中心的位置誤差為:

式中:Po－0、Pc－0分別為動平臺無位姿誤差時動平臺的原點O的位置矢量，刀具的長度矢量。將ΔPc向η、ξ和ζ坐標軸上投影，得沿η、ξ和ζ方向刀具的加工位置誤差分別為 Δηc、Δξc和 Δζc。

刀具的加工半徑誤差

式中:ηc和 ξc分別為 Pc在 η 和 ξ軸上的投影，ηc－0和ξc－0分別為 Pc－0在 η 和 ξ軸上的投影。

5 算例及分析

動平臺的原點繞O1ζ軸以角速度ω0作勻速圓周運動，動平臺的原點的軌跡半徑100 mm，到定平臺的距離680 mm，用歐拉角描述動平臺相對于定平臺的姿態，進動角ψ=ω0t，動平臺的章動角θ=10°，自旋角φ=－ω0t，動平臺中心繞 ζ軸旋轉動的角速度 ω0=2π/15 rad，電主軸旋轉速度nd=1 500 r/min，結構尺寸為并聯機床圖紙上尺寸。并聯機床在無擾動下，根據式(22)，計算得連桿的驅動力見圖3;根據式(23)，得無擾動下連桿的長度誤差，見圖4;根據式(25)，得動平臺的位姿誤差，見圖5;根據刀具c點在動平臺坐標系中的位置、式(28)和式(29)，得無擾動下刀具c點加工位置和加工半徑誤差，見圖6。

在無擾動計算的基礎上，增加伺服電機進給、推動動平臺位姿態變化產生的擾動，用與以上相同的計算方法，可得動平臺位的位姿受擾動時連桿的驅動力、連桿的長度誤差、動平臺的位姿誤差、刀具c點加工位置和加工半徑誤差，分別與圖3～6中曲線類似。

圖3 無擾動下連桿的驅動力Fig.3 Drive force of a leg under non disturbance

圖4 無擾動下連桿的長度誤差Fig.4 Length error of a leg under non disturbance

圖5 無擾動下動平臺的位姿誤差Fig.5 Position error and pose error of a moving platform under non disturbance

在無擾動計算的基礎上，增加刀具受力變化產生的擾動，用與以上相同的計算方法，可得刀具受力變化引起擾動時連桿的驅動力、連桿的長度誤差、動平臺的位姿誤差、刀具c點加工位置和加工半徑誤差，分別與圖3～6中曲線類似，因刀具受力變化較小，在圖上難以看到曲線的擾動。

圖6 無擾動下刀具加工位置和加工半徑誤差Fig.6 Error of machining position and radius of a tool under non disturbance

在無擾動計算的基礎上，取電主軸的轉子及刀具對z軸的偏心距adz=1.5 mm，增加電主軸轉子偏心引起的擾動，根據式(28)和式(29)，得電主軸偏心引起擾動時連桿的驅動力、刀具c點加工位置和加工半徑誤差，分別見圖7和圖8。

并聯機床的激勵來自伺服電機、電主軸的轉子和刀具c點。在無擾動計算的基礎上，同時增加伺服電機進給、推動動平臺位姿態變化產生的擾動，刀具受力變化產生的擾動，電主軸的轉子偏心引起的擾動，根據式(28)和式(29)，得綜合擾動時連桿的驅動力、刀具c點加工位置和加工半徑誤差，分別見圖9和圖10。

圖7 電主軸偏心引起擾動時連桿的驅動力Fig.7 Drive force of a leg under disturbance of a motorized spindle

圖8 電主軸偏心引起擾動時刀具加工位置和加工半徑誤差Fig.8 Error of machining position and radius of a tool under disturbance of a motorized spindle

圖9 綜合擾動時連桿的驅動力Fig.9 Drive force of a leg under comprehensive disturbance

圖10 綜合擾動時刀具加工位置和加工半徑誤差Fig.10 Error of machining position and radius of a tool under comprehensive disturbance

在無擾動下，由圖3～6可以看出，連桿的驅動力隨加工位置的不同，作無擾動變化，變化的幅值較大，使連桿產生長度誤差并隨驅動力變化，引起動平臺的位姿誤差，使刀具c點產生加工位置誤差和加工半徑誤差，使被加工零件在ζ坐標方向和加工半徑上產生形位誤差和尺寸誤差。

在電主軸偏心引起的擾動下，由圖7～8可以看出，連桿的驅動力隨加工位置的不同，作有擾動變化，使刀具c點產生加工位置和加工半徑誤差，并伴有擾動誤差，使被加工零件在ζ坐標方向和加工半徑上產生形位誤差和尺寸誤差，同時，擾動影響被加工零件在ζ坐標方向和加工半徑上的表面粗糙。減小電主軸的偏心距，可提高被加工零件的表面粗糙度。

在綜合擾動下，由圖9～10可以看出，連桿的驅動力隨加工位置的不同，作有擾動變化，驅動力的絕對值增大，刀具c點的加工位置和加工半徑誤差增大，被加工零件在ζ坐標方向和加工半徑上的形位誤差和尺寸誤差增大，擾動誤差變化不大，被加工零件在ζ坐標方向和加工半徑上表面粗糙度變化不大。

連桿的長度誤差引起刀具c點加工位置和加工半徑誤差。連桿的長度誤差與連桿的驅動力、連桿的直徑有關，減小連桿的驅動力的絕對值，增大連桿的直徑，尤其是連桿的最小直徑，可減小連桿的長度誤差，連桿的花鍵軸的直徑較大，與步進電機聯接的絲杠直徑較小，主要應增大絲杠的直徑。

并聯機床上與運動有關的結構尺寸、動平臺的位姿一定時，wi、bi和Lc等一定，則U一定，根據式(29)，連桿的驅動力取決于有關。Fc及Tc、ae、Idz較小，使W主要與動平臺的質量及轉動慣量、連桿的質量及轉動慣量、動平臺中心的加速度、動平臺的角速度和角加速度有關，動平臺的角速度和角加速度與動平臺的姿態及其變化有關，減小動平臺的質量及轉動慣量、連桿的質量及轉動慣量、動平臺中心的加速度、控制動平臺的姿態變化，可有效減小連桿的驅動力的絕對值及幅值，經算例計算，可得到以上結論，在計算中，減小電主軸的角速度，對減小連桿的驅動力的絕對值及幅值影響不大。

通過枚舉法，取電主軸旋轉速度 nd＜30 000 r/min，在并聯機床工作空間［9］內改變動平臺的原點的軌跡半徑、動平臺中心繞ζ軸旋轉動的角速度等參數，經計算，同樣可得到以上定性分析的結論，未見并聯機床共振。

6 結論

(1)根據并聯機床的動力學方程獲得連桿的驅動力，可從動平臺等運動產生慣性力和連桿等受力方面，分析并聯機床在加工過程中連桿的長度誤差、動平臺的位姿誤差、刀具加工位置誤差等，為分析并聯機床的動力學特性對加工精度的影響提供基礎理論和方法。

(2)并聯機床連桿的長度誤差，引起刀具加工位置誤差，使被加工零件產生形位誤差和尺寸誤差。減小連桿的驅動力的絕對值，增大連桿的直徑，可減小被加工零件的形位誤差和尺寸誤差。

(3)并聯機床電主軸偏心產生的擾動，引起連桿的長度誤差擾動，產生刀具加工位置的擾動誤差，影響被加工零件的表面粗糙度。減小電主軸的偏心距，可提高被加工零件的表面粗糙度。

(4)連桿的驅動力主要與動平臺的質量及轉動慣量、連桿的質量及轉動慣量、動平臺中心的加速度、動平臺的角速度和角加速度有關，減小動平臺的質量及轉動慣量、連桿的質量及轉動慣量、動平臺中心的加速度、控制動平臺的姿態變化，可有效減小連桿的驅動力的絕對值及幅值。減小電主軸的角速度，對減小連桿的驅動力的絕對值及幅值影響不大。

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Effect of dynamic characteristics of parallel machine tool on its machining accuracy

XU Zhao-tang1，2，LIU Yuan-wei1，WANG Tong-yue1，WU Hai-bing1

(1.Key Laboratory of Digital Manufacturing Technology，Huaiyin Institute of Technology，Huaian 223003，China;2.Department of Traffic Engineering，Huaiyin Institute of Technology，Huaian 223003，China)

In order to improve the machining accuracy of a parallel machine tool，the effect of its dynamic characteristics on machining accuracy was analysed.The dynamic equation of the parallel machine tool was derived in the light of Newton-Euler method and the driving force of the leg was obtained from the solution of the dynamic equation.According to the relation between the axial extension length and leg driving force，the length error of the leg was calculated.Taking the accurate leg length as an optimization objective，the position and pose of the moving platform were achieved by using optimization method and their errors were analysed.According to tool position in the coordinate system of the moving platform，the error of machining position was calculated，and its effect on the accuracy of machined parts was discussed.The results show that the tool position error is caused by leg length error，which produces the errors of form，position and dimension of machined parts.The rotor eccentricity of the parallel machine tool may cause disturbances on leg length and tool position，which will effect the surface roughness of machined parts.

parallel machine tool;leg driving force;leg length error;position error and pose error of a moving platform;error of machining position

TG659

A

江蘇省高校自然科學研究重大項目資助(12KJA460001);江蘇省數字化制造技術重點建設實驗室開放課題資助項目(HGDML－0611)

2012－02－08 修改稿收到日期:2012－10－09

許兆棠 男，博士，教授，1957年2月生