《數學物理方法》中“行波法”教學方法改革探索

劉 萍，譚朝陽

（電子科技大學 中山學院，廣東 中山 528402）

數學物理方法是物理專業的專業課，也是電信、通信、電子科學技術等專業學生的專業基礎課之一，眾多高校在課程教學中給予了極大重視。電子科技大學中山學院也對這一課程的教學寄予了很大的支持和關注，將其列為必修專業基礎課程。數學物理方法既是數學課，也是物理課，學習此門課程既能很好地促進學生進一步掌握物理學的基本原理和數學的基本知識，又能極大地促進學生提高物理抽象思維能力和邏輯推理能力。

數學物理方法這門課的內容非常豐富，各個教材的內容選取并不盡相同。盡管各個教材的內容的選取各異，但大部分教材包含了行波法的內容。關于數學物理方法的教學改革，已經有很多老師們提出了自己的觀點和設想［1］。專門關于行波法教學的討論并不多。行波法在科學研究中，也是一個熱點話題［2－3］。在行波法教學中，我們將科研中常用的函數展開法等行波法處理手段以及Maple軟件等運用到行波法的教學中，促進教學質量的提高。在本文中我們將與大家分享我們在行波法教學中的一些改革探索。

1 將行波法的教學與非線性數學物理方程的教學結合起來

很多《數學物理方法》的教材都同時介紹了行波法和非線性偏微分方程。我們在講授數學物理方法的過程中，將這兩者結合起來介紹。行波法不僅是求解線性偏微分方程的一種有效途徑，而且也是求解非線性偏微分方程，特別是求解非線性波方程的一種重要途徑。許多簡單的但是重要的非線性波方程的解析解，例如橢圓余弦周期波解、孤立波解、三角函數周期波解等，都可通過行波法獲得。例如Burgers方程

是非常著名的非線性偏微分方程，我們可以用行波法來求解此方程。令，

將（2）代入（1）并進行積分處理，就可以得到Burgers方程的行波解。同樣地，其他一些非線性偏微分方程也可以用行波法來進行求解。在課堂中，我們給學生介紹了一些非線性波動方程，例如非線性薛 定 諤 方 程［2］、Korteweg－de Vries方 程［3］、Kadomtsev－Petviashvili方程［4］等。將這些非線性方程的求解，作為行波法的教學例子來讓學生做練習使用，可以讓學生體會到行波法的妙處，促進學生更好地掌握行波法的計算方法，還可以增強學生對非線性科學的了解。

2 將數學計算軟件Maple引入行波法的教學中

Maple軟件是目前世界上最為通用的數學和工程計算軟件之一，在數學和科學領域享有盛譽，有“數學家的軟件”之稱。Maple系統內置高級技術解決建模和仿真中的數學問題，包括世界上最強大的符號計算、無限精度數值計算，數學和分析功能覆蓋幾乎所有的數學分支，如微積分、微分方程、特殊函數、線性代數等。在數學物理方法的課堂教學中，我們在教會學生用手計算的同時，也會教學生如何用Maple軟件來計算，讓學生的“手算”和“腦算”兩手都要硬。

下邊我們仍以Burgers方程為具體例子來闡述Maple在行波法教學中的滲透使用。例如：如果我們在Maple軟件平臺中，輸入命令“pdsolve（diff（u，t）＋u＊diff（u，x）－nu＊diff（u，x，x））；”，系統就會顯示Burgers偏微分方程的求解結果。課堂上讓學生比較“手算”和“腦算”的結果，體會電腦計算的便捷。在課堂中，我們還會介紹一些特殊函數待定系數法，即假定方程有橢圓周期波函數、孤立波函數、三角周期波函數等各種各樣的函數解，用Maple計算出待定系數，就得到了波動方程各種各樣的激發模式。通過這些課堂講解和演示，讓學生掌握行波法的妙處。課堂后，我們還會布置作業，要求學生自己編寫小程序來計算一些波動方程的行波解，促進學生更好地掌握行波法的軟件計算方法。

3 將波動圖形引入行波法教學中

雖然很多數學物理方法的教材將行波法的教學列入了書本，但是直觀的二維、特別三維圖形在教材里邊卻并不多見。我們在課堂中向學生展示了大量的波動圖形，促進學生對波動現象的直觀理解。

例如，我們在課堂上引入了學生非常熟悉的大學物理波動學里邊反復介紹的平面波波動表達式［5］

在課堂中，我們給學生展示了三組圖形。第一組圖形，將（3）式中時間固定，向學生展示波動位移隨空間軸的變化，并將時間選取不同值（x，y）的演化圖進行比較。第二組圖形，將x固定，展示波動位移隨時間的演化，并告知學生，此時波動退化成質點的振動。第三組圖形，我們從不同角度展示了（x，t，y）三維時空演化圖。同時，還可以借助數學軟件，展示波動圖形的動態變化，加深學生對“行波”的印象。

“數學物理方法”是高校教學中公認的課程難度較大，學生學習興趣比較低的課程。在課堂教學中，如果簡單的講解書本知識，照本宣科，很難引起學生的學習興趣。我們通過引入數學軟件，介紹具有強烈物理背景的非線性波動方程，同時展示大量的圖形來增強行波法的教學效果。同時，課堂上展示的所有計算方法、計算程序、圖形，都比較簡單，同學在課堂外也很容易重復，加深他們的成就感。學生在行波法教學中學到的知識將更好的促進他們對《大學物理》、《電磁場與電磁波》等涉及波動、振動的課程的理解。

［1］蔣然.數學物理方法教學改革中的若干想法［J］.中國科技信息，2010（9）：33－34.

［2］劉萍，李子良，樓森岳.一類耦合非線性Schodinger方程的Painleve性質、嚴格解及其在大氣重力波中的應用［J］.應用數學和力學，2010，31（11）：1308－1329.

［3］Ping Liu，Pei－Kai Fu.Modified（2＋1）－dimensional displacement shallow water wave system and its approximate similarity solutions［J］.Chin.Phys.B，2011（9）：5－6.

［4］Ping Liu and Sen－Yue Lou.A（2＋1）－Dimensional Displacement Shallow Water Wave System［J］.CHIN.PHYS.LETT.，2008（9）：10－12.

［5］胡盤新，湯敏駿，鐘季康.普通物理學簡明教程上冊［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004.