對一道經典試題的再思考

田勝安 劉治宏 張波

(張家界市民族中學 湖南 張家界 427000) (綿陽中學實驗學校 四川 綿陽 621000) (包頭市回民中學 內蒙古 包頭 014040)

【例題】從地面以大小為v1的初速度豎直向上拋出一個皮球，經過時間t皮球落回地面，落地時皮球速度的大小為v2.已知皮球在運動過程中受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比，重力加速度大小為g.下面給出時間t的4個表達式中只有一個是合理的.你可能不會求解t，但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性做出判斷.根據你的判斷，你認為t的合理表達式應為

圖1

此題作為考查學生物理基礎知識及思維的經典例題常出現在各檢測類的試卷中.但凡涉及此題的參考文獻給出的解答均為排除法和極限法，有學生好奇該如何定量解答此題，在此，給出兩種解法期望能對此題有個較深入的剖析以便利于學生的理解.

傳統解法：考查各選項的量綱及考慮阻力為零的特殊情況,可輕易選出正確答案為選項C.

點評：此解法好處在于能快捷地選出正確選項，適宜用于各類檢測中.譬如，解答近年某些高考選擇題.但此法不利于學生對問題本質的掌握，在平常訓練中不符合“打破沙鍋問到底”類學生的需求.

解法1：對過程微元處理，分別寫出上升段和下降段的運動表達式.設上升時間為Δt,下降時間為t2.

上升段有mgΔt+kviΔt=mΔvi

對其求和有mgt1+ks=mv1

對其求和有mgt2-ks=mv2

即答案為選項 C.

點評：運用微元法解答此題難度不大，對學生的物理及數學能力、知識要求不高，適合普通高中生掌握.但此法依舊不能挖掘出題設中皮球運動詳情，似乎還是不夠盡興，下面再給出一種方法.

解法2：運用積分.首先假設空氣的阻力系數為k，則物體所受空氣阻力為f=-kv，選向上為正方向，可寫出物體的整段運動方程如下(分段積分亦可)

(1)

(2)

對式(2)積分

(3)

(4)

讀者似乎有些好奇，式(4)明顯和正確答案不相同.但不相同并不意味著不相等.將式(1)改寫為

(5)

對式(5)變形有

(6)

對式(6)積分得

(7)

將式(7)代入式(4)中得

(8)

兩答案是相等的只是形式不同.

點評：此法較為復雜，不建議對普通高中生進行推廣，但對于有興趣的學生，筆者覺得有介紹的必要.

另外,我們不妨將式(3)改寫成任意時刻速度與時間之間關系的形式，即

(9)