小議一題多變在初中數學中的應用

摘 要：教師能注重一題多變，一定能提高課堂效率，有效提升學生解決問題的能力，對教學是個好助手。

關鍵詞：初中數學； 一題多變

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2013）01-041-001

波利亞說：“教學生解題是意志的教育，但學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待靈感的到來，學會了當靈感到來后全力以赴。如果在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了。” 如果我們教的學生具有主動探索的欲望與能力，我們的教育才是有意義的，而現行初中數學課本中，不少習題內涵豐富，對學生思維能力有不同尋常的作用和豐富的教學價值。而如何才能讓解題發揮它的效應，筆者在教學實踐中發現，有效地進行一題多變，讓學生在無限的空間里實現思維的飛躍，有助于開啟學生的應變力、想象力、創造力之門；一題多變以問題探究為中心，通過研究一個問題的多種解法或同一類型問題的相似解法，有助于拓展學生思維的廣度和深度。一題多變重在培養學生探究性學習的意識，有助于學生舉一反三，同時也有助于學生知識點的融會貫通，使學生的思維更加活躍。下面攫取一二，與各位老師共同探討。

如：已知，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，求證：BD=CD。

1.將結論變得較簡單些

已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求證：BD=CD。

2.條件變而結論不變

已知，在△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，求證：BD=CD。

3.條件不變而結論變

已知，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，求證：AD⊥BC。

4.條件與結論都變

I已知，在△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的中線，求證：AD平分∠BAC。

II已知，在△ABC中，AD是底邊上的中線，并且AD是∠BAC的角平分線，求證：AB=AC。

III已知，在△ABC中，AD是底邊上的中線，并且AD⊥BC，求證：AB=AC。

在教學中，我提倡學生做一道題收獲一道題：不僅要會將給定的題目分析得解，還要學會總結反思解題規律、方法思路、技巧、數學思想方法等，最重要的是要充分發揮成題的作用，學會對一道成題從不同角度進行變式，在變化中分析、思考，從而達到將知識學活、學會學習的目的。就像本題，考察的是等腰三角形中三線合一的知識點——等腰三角形兩腰相等，角平分線垂直平分底邊。本題中對于等腰△ABC而言有AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD，AD⊥BC四個條件，知道了其中兩個可以求證另外兩個，這樣就有六種變形。

由上述六種題型的變換，不僅使學生對這一知識點了如指掌，更是增加了學生們學習數學的樂趣，將知識學得透徹，學得活泛。把同樣的數學思想方法滲透到不同的題型中，既鍛煉了學生適應不同題型的能力，又加深了對數學思想方法的理解運用，既激活了學生的思維，又活躍了課堂氣氛，看似浪費了時間，實質觸及到思維的靈魂，收到了事半功倍的效果。

再如：已知函數y=（3-k）x-2k+18是一次函數，求k的取值范圍。

設計意圖：考查一次函數的定義：y=kx+b中k≠0。此處要求3-k≠0即k≠3

一變：k為何值時，一次函數y=（3-k）x-2k+18的圖象經過原點；

設計意圖：考查點與圖象和點的坐標與函數解析式之間的對應關系：

圖象過原點等于要求x=0，y=0滿足y=（3-k）x-2k+18。解得k=9

二變：k為何值時，一次函數y=（3-k）x-2k+18的圖象與y軸的交點在x軸的上方。

設計意圖：考查一次函數的圖象與x軸、y軸的交點問題，并能將文字語言翻譯成數學語言：與y軸的交點在x軸的上方表示交點的縱坐標，即-2k+18大于0。解得k<9

三變：k為何值時，一次函數y=（3-k）x-2k+18隨x的增大而減小，此處要求3-k<0解得k>3設計意圖：考查一次函數的性質。

四變：k為何值時，一次函數y=（3-k）x-2k+18圖象經過一、二、四象限？

設計意圖：學習一次函數的最重要方法是數形結合.結合圖象，將問題轉化為解關于k的不等式組。3-k>0且-2k+18>0，解得k<3

五變：k為何值時，一次函數y=（3-k）x-2k+18圖象平行于直線y=-x；設計意圖：考查決定兩條直線位置關系的因素，這里只涉及簡單的情形：兩條直線平行等價于3-k=-1，解得k=4。

六變：直線y1=（3-k）x-2k+18與直線y2=2x+12交于點P（-1，a）。

（1）求k的值；

（2）x為何值時， y1>y2；

（3）求直線y=（3-k）x-2k+18、直線y=2x+12與x軸圍成的三角形的面積。

設計意圖：（1）交點的意義：點P（-1，a）滿足y=（3-k）x-2k+18與直線=2x+12，從而求得a，k；（2）解決第二問時有多種方法：解不等式，數形結合；（3）第三問需要借助圖象明確所求的圖形，弄清點的坐標與線段長的關系（這是學生的易錯點，補充強化練習：如果直線y=-2x+k與兩坐標軸所圍成的三角形面積是9，求k的值）。

在本節課中，通過對一次函數y=（3-k）x-2k+18的多角度變式，讓學生將一次函數的基本知識吃透，并且將轉化的思想、數形結合的思想含兒不露地加以應用，學生的思維、能力均得以發展。

“一題多變”教學收獲反思

“一題多變”教學容易提高教師駕馭課堂的能力。天長日久受教師的影響，學生也會逐漸養成對題目變式的習慣，這樣學生就可以舉一反三，靈活應用知識而不是死記硬背，更有助于學生知識的融會貫通，尤其是那些學有余力的學生更應當引導他們主動練習。其次，變題時要注意有聯系、有規律地變，切忌為了變題將不相干的知識雜糅在一起。總之，教師能注重一題多變，一定能提高課堂效率，有效提升學生解決問題的能力，對教學是個好助手。