例談對稱法在物理解題中的妙用

解具有對稱性的問題，如果仍按照常規(guī)思維，運(yùn)用一般的方法，則往往難以求解.若能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對稱法，則可以化難為易，順利求解.

例1：沿波的傳播方向有距離小于1個(gè)波長的A、B兩點(diǎn)，在t=0時(shí)刻，兩點(diǎn)的速度相等，經(jīng)過時(shí)間Δt=0.01s，兩點(diǎn)首次變?yōu)榧铀俣认嗟龋阎ㄩL為12m，求波速.

分析：（1）由于A、B兩點(diǎn)速度相等，則此時(shí)兩點(diǎn)必然是關(guān)于處于平衡位置的質(zhì)點(diǎn)C0對稱，如圖1或圖1′所示.

（2）當(dāng)A、B兩點(diǎn)變?yōu)榧铀俣认嗟葧r(shí)，則此時(shí)兩點(diǎn)必然是關(guān)于處于最大位移的質(zhì)點(diǎn)C′對稱，如圖2或圖2′所示.

（3）綜合初、末狀態(tài)，可畫出圖3或圖3′的波形，A0、B0、C0為A、B、C所對應(yīng)的平衡位置，由以上對稱性的分析，可知初狀態(tài)（圖中實(shí)線所示的波形）與末狀態(tài)（圖中虛線所示的波形）所經(jīng)歷的時(shí)間正是對稱中心質(zhì)點(diǎn)C由平衡位置運(yùn)動(dòng)到最大位移處所用的時(shí)間，即0.01s正是四分之一個(gè)周期.

解：由以上分析可知T/4=0.01，則T=0.04s

波速V=λ/T=（12/0.04）m/s=300m/s

對稱性是振動(dòng)和波動(dòng)的重要特性.本例應(yīng)用了對稱法使問題大為簡化，此題若不從對稱性入手分析，則很難求解.

例2：有位牧童在回家之前，先要把牛牽到河邊去飲水，然后再將牛牽回家中.如圖4所示，已知家在位置B，距河岸邊500m，牧童所在位置A與岸邊相距200m，與家相距500m，試問牧童至少要走多少路程才能回到家中（準(zhǔn)確到1m），怎么走用時(shí)最短？并在圖中作出牧童所走過的最短路線.

分析：這是一道關(guān)于路程、速度、時(shí)間三者之間關(guān)系的問題，只要求出行走最短路程，根據(jù)行走速度，可求出所需時(shí)間.如圖4所示，假設(shè)牧童由A先到達(dá)河邊的C1點(diǎn)，然后再回到家中，那么牧童走過的路程應(yīng)為AC1+ C1B.我們以河岸邊為對稱軸，作出B點(diǎn)的對稱點(diǎn)B′，由對稱性可知C1B=C1B′.也就是說，牧童走過的路程相當(dāng)于從A走到C1，再從C1走到B′所走的路程.至此，我們不難在圖中畫出最短行程路線：先把A與B′用直線相連，交岸邊于C點(diǎn)（CB′用虛線相連），然后再將C與B用直線連接，如圖4所示，牧童由A經(jīng)C再到B，即為其所走路程最短的路線.

在以上分析的基礎(chǔ)上，我們利用勾股定理，不難求出牧童所走的最短路程為806m，即牧童至少要走806m的路程才能回到家中.如果牛的行走速度為2.5m/s，約需要5.4min就可到家.

從以上兩例可以看出，直觀、便捷是對稱法解題的突出特點(diǎn)，對具有對稱性的問題，我們可以先嘗試依據(jù)對稱規(guī)律進(jìn)行圖解，巧妙轉(zhuǎn)化，往往能化難為易，大大簡化繁瑣的計(jì)算過程。

編輯：張昀