指數凸函數的積分不等式及其在Gamma函數中的應用

何曉紅

(衢州廣播電視大學教務處,浙江衢州324000)

指數凸函數的積分不等式及其在Gamma函數中的應用

何曉紅

(衢州廣播電視大學教務處,浙江衢州324000)

仿對數凸函數的概念,給出指數凸函數的定義,并證明有關指數凸函數的幾個積分不等式,作為應用,得到一個新的Kershaw型雙向不等式.

凸函數;指數凸函數;Gamma函數;Kershaw型不等式

1 引言

凸函數理論是一個既經典又極具活力的數學分支,現已滲透到分析、幾何和代數的各個數學領域.經典凸函數和對數凸函數的概念見下定義1.有關它們的文獻數不勝數,讀者可參見文獻[1-2]及其它們的參考文獻.

定義1設I是一區間,

(i)f:I?(?∞,+∞)→R,若任取x,y∈I和α∈(0,1),都有

f(αx+(1?α)y)≤(≥)αf(x)+(1?α)f(y),

則稱f為I上的凸(凹)函數.

(ii)f:I?(?∞,+∞)→(0,+∞),若任取x,y∈I和α∈(0,1),都有

f(αx+(1?α)y)≤(≥)(f(x))α·(f(y))1?α,

則稱f為I上的對數凸(凹)函數.

設0

為a,b的對數平均和指數平均[2].

對于著名的Gamma和Psi函數,本文討論定義域為(0,+∞)的情形,它們分別定義為:

其中Γ為對數凸函數,即ψ為嚴格單調增加函數.

根據ψ為凹函數和Hermite-Hadamard不等式(見下引理1),文獻[3]得到:若0

此類不等式被稱為Gautschi型或Kershaw型不等式.文獻[4]給出了:設0

文獻[5-6]把(2)式改進為:

有關Kershaw型不等式的研究還可以參見文獻[7-9].

仿對數凸函數的定義,本文定義指數凸函數,將研究指數凸函數的積分性質.并把這些積分不等式應用到Gamma函數的理論上,得到一個簡潔的Kershaw型雙向不等式,并與式(3)不分強弱.定義2設I是一區間,f:I?(?∞,+∞)→R,若ef(x)是I上的凸(凹)函數,則稱f為I上的指數凸(凹)函數.

2 相關引理

引理1(Hermite-Hadamard不等式)設a

引理2(i)當x>0時,

(ii)ψ(x)是指數凸函數.

證明(i)這是文獻[10]中的一個結果.

(ii)

由(4)式知eψ(x)是凸函數,進而ψ(x)是指數凸函數.

引理3設

則f(s)>2ln2.

證明

g為單調減少函數,且易知g(0)=0,所以g(s)在(?1,0)取值為正,g(s)在(0,1)取值為負,因此f(s)在(?1,0)單調增加,f(s)在(0,1)單調減少.又易知

故結論為真.

引理4設f:[a,b]→R為可微的指數凸函數,f′(a)和f′(b)分別記f(x)在x=a處的右導數和在x=b處的左導數.

(i)若任取t∈[a,b],都有1+(t?a)f′(a)>0,則

證明(i)因為單調增加函數,對于t∈[a,b]和x∈[a,t],有

若f′(a)=0時,有

結論顯然成立.當f′(a)?=0時,f(t)≥f(a)+ln(1?af′(a)+tf′(a)),進一步有

至此知(5)式成立.

以下證明類同于式(1)的證明,在此略.

引理4證畢.

3 有關指數凸函數的幾個積分不等式

定理1設f:[a,b]→R為可微的指數凸函數,若都有

則有

其中

進而有

證明把引理4中的(5)式中的整理有

(8),(9)式相加得,

其中

因任取t∈[a,b],都有

取t=1,?1,可知?1

定理2設f:[a,b]→R為指數凸函數,則有

進一步,當f(a)?=f(b)時,有

證明對于x∈[a,b],令x=λa+(1?λ)b,解得

當f(a)=f(b)時,上式即為f(x)≤f(a),相應結論成立.當f(a)?=f(b)時,進一步有

所以有

注意到

再根據引理1知

所以知(10)式成立.

定理2證畢.

4 一個新的Kershaw型不等式

定理3(i)若b>則

(ii)若b>a>0,則

證明(i)眾所周知

此時易知,對于t∈[a,b],有

至此知ψ滿足定理1中的(ⅲ)條件.根據引理2和定理1的結論(ⅲ)知(11)式成立.

(ii)根據引理2和定理2知(12)式成立.下面來比較(11),(12)式和(3)式的強弱關系.參見文獻[11]的第54節和第541節或文獻[12],知

其中

設

表1 (11)式與(1),(2),(3)式的左式強弱比較表

從以上數據可以看出:當a=0.5,b≥10時,有y1>y2>y3>y4.

表2 (12)式與(1),(2),(3)式的右式強弱比較表

從以上數據可以看出:當a=0.5,b≥2時,有z1

參考文獻

[1]Niculescu C P,Persson L E.Convex Functions and Their Applications[M].New York:Springer-Verlag,2006

[2]匡繼昌．常用不等式[M]．4版.濟南:山東科學技術出版社,2010.

[3]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].2nd ed.Cambridge:Cambridge Univer.Press,1952.

[4]Gautschi W.Some elementary inequalities relating to the Gamma and incomplete Gamma function[J].J. Math.Phy.,1959,38:77-81.

[5]Qi F.A new lower bound in the second Kershaw′s double inequality[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,214(2):610-616.

[6]Qi F,Guo S,Chen S.A new upper bound in the second Kershaw′s double inequality and its generalizations[J]. J.Comp.Appl.Math.,2008,220(1):111-118.

[7]Kershaw D.Some extensions of W.Gautschi′s inequalities for the Gamma function math[J].Math.Comp., 1983,41:607-611.

[8]Zhang X,Chu Y.A double inequality for Gamma function[J].J.Ineq.Appl.,2009(1):1-7.

[9]Zhang X,Chu Y,Zhang X.The Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its application[J].J.Ineq.Appl.,2010(1):1-11.

[10]Batir N.On some properties of digamma and polygamma functions[J].J.Math.Anal.,2007,328:452-465.

[11]Von Fichtenholz G M.Di ff erential-und integralrechnung[J].VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1964(2):1-9.

[12]Qi F,Guo B N.Monotonicity and convexity of the functio n[J].RGMIA Res.Rep.,2003,6(4): 763-781.

Integral inequalities of exponential convex functions and aplication to Gamma function

He Xiaohong

(Office of Academic A ff airs,Quzhou Radio&TV University,Quzhou324000,China)

Copying a de fi nition of logarithmic convex functions,this paper de fi nes exponential convex functions and establishes some integral inequalities involving the functions.As application,a new Kershaw-type inequality is presented.

convex functions,exponential convex functions,integral inequalities,Gamma function

O178;O174.6

A

1008-5513(2014)01-0069-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.011

2013-11-07.

何曉紅(1968-),講師,研究方向:分析不等式和開放教育.

2010 MSC:33B15,26D15