多角度探索解題方向

主講： 沈新權

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長

在上期內容中，我們強調了審題是求解數學問題的基本出發點，也是探索解題方法的基礎.現在，我們將在審題的基礎上，探討如何探索解題方向.所謂探索解題方向，就是充分利用題中條件，發現解題思路，達到解題目的.下面，我們就從三個方面著手進行討論.

重視問題涉及的概念與性質

數學的概念與性質往往不是獨立存在的.如果一個問題涉及某個概念或性質，那么我們既可以從這個概念或性質本身出發來解決問題，也可以利用與這個概念或性質相關的其他概念、性質解題. 總之，應盡可能以題目直接涉及的概念或性質為解題的源頭，從不同角度探索解題方向.

解析一： 很明顯，例1考查的是函數y=Asin（ωx+φ）+B的性質.由于y=sinx在

解析二： 由完全平方式可得a10+b10=（a5+b5）2-2（ab）5. 由于a5+b5=11是已知的，所以只要求出ab的值，就能求出答案.根據條件a+b=1，a2+b2=3，我們就可以求得ab.

由a+b=1，a2+b2=3可得（a+b）2=a2+b2+2ab=3+2ab=1，解得ab=-1.所以a10+b10=（a5+b5）2-2（ab）5=112-2（-1）5=123.

解析三： 既然只需用兩個方程就能求出未知數a，b的值，那例2為什么要給出a+b=1，a2+b2=3，…那么多方程呢？其實，命題者是希望我們通過觀察，找到1，3，4，7，11這些數字之間的聯系，發現規律，通過類比推理解決問題.

觀察題中的等式，從第3個等式起，后一個等式的值恰好是前兩個等式的值之和，即（a+b）+（a2+b2）=1+3=4=a3+b3，（a2+b2）+（a3+b3）=3+4=7=a4+b4，…，由此可得前10個等式的值分別為：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，故a10+b10=123.

評注： 解析一是常規解法，先根據題中條件求出a，b的值，再代入a10+b10求解，雖然思路直白，但運算比較復雜.

解析二屬于巧解，由于a5+b5和a10+b10可以用完全平……