“零向量”釋疑

數(shù)學(xué)書(shū)上說(shuō)：“方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.”也就是說(shuō)平行向量不包括零向量.但書(shū)上又說(shuō)：“零向量與任一向量平行.”這兩句話不是矛盾了嗎？既然零向量與任一向量平行，那為什么非要規(guī)定平行向量是“非零向量”？

首先，“方向相同或相反的非零向量叫作平行向量”與“零向量與任一向量平行”這兩句話并不矛盾，而且后一句恰恰是對(duì)前一句中“非零向量”這一限制條件的解釋和補(bǔ)充.由于非零向量具有方向性，所以只有當(dāng)它們的方向相同或相反時(shí)，才存在平行關(guān)系.而零向量的方向是任意的.我們可以把它看作一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)具有所有方向，對(duì)于平面中的任一向量，零向量總有一個(gè)方向與它的方向相同或相反，所以零向量與任一向量平行.正因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模圆艜?huì)把它拿出來(lái)單獨(dú)考慮，這也是為了讓同學(xué)們更深刻地理解零向量.

其次，數(shù)學(xué)書(shū)上并沒(méi)有規(guī)定平行向量必須是“非零向量”，它只告訴我們“方向相同或相反的非零向量”是“平行向量”，但我們不能據(jù)此反推出“平行向量就是方向相同或相反的非零向量”.“方向相同或相反的非零向量”只是“平行向量”的充分不必要條件.當(dāng)兩個(gè)向量平行時(shí)，其中一個(gè)向量也可能為零向量.對(duì)此，我們可以通過(guò)一道例題來(lái)說(shuō)明：判斷命題“若a∥b，b∥c，則a∥c”的真假.這顯然是一個(gè)假命題，若b≠0，命題成立；若b=0，則a，c的方向無(wú)法確定，a∥c不一定成立.

由于零向量的存在，平行向量不具備傳遞性.所以在判斷向量平行時(shí)，我們一般要分兩種情況考慮：①所有的向量都不是零向量；……