從幾個案例看數學中的哲學思想與方法論以及數學美

摘 要 以具體的一個個數學問題為案例，通過思考感悟的過程挖掘其中的哲學思想、普適方法以及無尚之美，并且適當地通過類比移植來透視數學的社會學價值。隨后對于數學哲學思想、方法論、數學美的挖掘對于數學乃至工作生活中的意義進行了闡述。

關鍵詞 數學哲學 數學美 數學方法論

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A

See the Philosophy and Methodology and Mathematical Beauty of Mathematics from Several Cases

Abstract A case study of a specific mathematical problems， thinking perception of the process of mining which philosophy， universal method still beauty， and by analogy transplant perspective mathematical sociological value. Then， described mathematical philosophy， methodology， the excavation of the beauty of mathematics in mathematics even work life meaning.

Key words mathematical philosophy； mathematical beauty； mathematics methodology

1 案例分析

案例1 甲乙丙三個人獨立解決某一問題的概率分別為0.6、0.7、0.5，某智者獨立解決該問題的概率為0.9。容易計算得：P{甲乙丙三人都不能解決該問題 = 0.06故：三個比較平庸的人聯合解決問題的概率為0.94，高于智者的0.9。哲學思想與方法論：不要迷信權威，不要迷戀個人英雄。力量蘊含在群眾之中，只要能真正團結群眾，發動群眾，我們的力量絕對大于任何個人英雄。這個道理在我國民間形象地表達為：三個臭皮匠，頂個諸葛亮。

案例2 = + ， = 哲學思想與方法論：事物之間在一定條件下可以相互轉化。 轉化可以將還未解決的問題化歸為已經解決了的問題。這兩個式子顯示了“對數運算的重要功能”：將乘法運算轉化為加法運算，將指數運算轉化為乘法運算。我們知道， 指數運算較乘法運算高級，乘法運算較加法運算高級，將運算的級別降低，在實踐和應試中的意義是巨大的。

應用：證明 = 1 = 即為，對象屬于指數運算，不便下手。運用對數降級運算功能：令 = = ， = = 0，∴ = = 1

案例3 某個小概率事件發生的概率為。假設非常小，不妨取為0.001。1次試驗中它發生的概率如此之小，為0.001，可以認為不發生。

次試驗它一次也不發生的概率為（0）= →0（→），即概率再小的的事件也終將發生。哲學思想與方法論：開拓進取時，不要被一些“小概率不利事件” 所嚇阻，要敢于嘗試！只要該事件不礙大局，戰略上可以大膽忽略。就是我們平時所說的“賭一把”！事實上小概率事件在一次試驗中幾乎不發生，我們勝算很大。有時突破的這一步，我們便可以開創一個新局面。但是，當某個“小概率不利事件”事關生死存亡重大利害時，就算它的概率再小，我們也不能懷僥幸心理，因為“小概率事件終將發生”。類比：某位學生在考試中舞弊被抓住，他狡辯說這是“此生第一次”。從監考教師角度看：在一次監考中就發現該生舞弊，那么“該生舞弊是小概率事件”將不被接受，我們要對該生進行嚴厲懲罰。從學生角度看：舞弊被抓可能概率很小，但一旦被抓，信用檔案將有污點，后果很嚴重。應該永遠放棄舞弊念頭，踏踏實實求學做人。

案例4 一年有365天，不考慮閏年。隨機抽取的兩個人生日相同概率為1/365， 66人的班集體中有兩人生日相同概率為多少？

乍看，這一事件概率也不會很大，筆者曾作過調查，很多人憑感覺認為此事件概率不會超過0.5。但通過計算我們發現該事件概率。

= ＞0.999

哲學思想與方法論：感覺概率不會超過0.5的隨機事件竟幾乎是個必然事件！感覺如此不可靠，測量和計算才必要！主觀臆斷常常會使人犯大錯誤，我們求學處事一定要實事求是，一切從事物的本來面目出發，杜絕任何主觀成分。

案例 5 隨機拋擲硬幣，正面朝上概率為0.5，若已經連續拋出了9次正面，則第10次還是正面朝上的概率是小于還是等于0.5？

當“已經連續拋出了9次正面” 這一條件被強化后，很多人認為第10此還出現正面的概率應該小于0.5了。這是一個誤判，概率還是為0.5！

哲學思想與方法論：多次拋硬幣，觀察正面朝上的次數。這樣一個隨機試驗屬“重貝努利試驗”。“貝努利試驗”是無記憶性的。前面的試驗結果對后面的試驗不產生任何影響，人們出錯在于被虛假信息迷惑。

現實中還有很多這樣的騙局：例如，彩票行業中有很多所謂的“資深彩票專家” 整天像模像樣的“預測”下期走勢，什么平均數，眾數，奇偶比，走勢圖……這個帶有很大的欺騙性。我們承認，之前的彩票數據中確實有些統計規律，但這些數據對后期的牌面沒有任何影響。這些所謂的專家只是利用普通人的慣性思維和錯覺誤導人們，其目的是鼓動人們多買彩票，增加彩民的“投注信心”。

2 對于數學中的哲學思想以及方法論、數學美的挖掘的理想化過程

在講解知識點或解題示例時，有意識地引導學生思考、感悟，進而提煉出它們在實踐中的指導意義——實踐觀、方法論投影，并對學生進行美的熏陶，會大大激發學生的學習熱情和學科興趣。

他們在內心深處認識到所學知識并非紙上談兵，而是具有移植功能，是可以指導以后的學習和工作的，同時也是具有美感，可以震撼心靈的。

久而久之，學生在每解完一個題目后會主動歸納、醒悟，形成一種自覺和需求。高層次所得是獲得世界觀、方法論哲理和美感，低層次也至少可以獲得題目的代表性和示范價值進而能舉一反三，觸類旁通。

3 對于數學中的哲學思想以及方法論、數學美的挖掘的意義

（1）深刻的哲學思想、成熟的方法論以及對美的追求和鑒賞能力顯然是人的高層次素質。 培養人的這種素質、塑造人正確的世界觀、人生觀和價值觀正是教育所追求的。我們從看似普通的數學問題中挖掘出哲學思想、普適方法以及無尚之美正服務了教育目標，這個意義是顯然的。（2）能從數學問題中挖掘出哲學思想、普適方法以及無尚之美并不是我們牽強捏造，而是因為數學之中本來蘊含著這些東西。但并非人一接觸數學就能自然簡單地體會到，這需要一個思、悟和挖掘的過程。（3）數學是一首詩歌，數學是一幅畫，數學是宇宙的判官。每個數學問題都蘊含著一定的哲學思想，都可以挖掘出一定的方法論價值，都蘊含著美學價值。（4）挖掘過程是也是一個示范過程。數學問題是普遍的，無窮無盡的，挖掘手段、模式若推廣開來，意義自然非凡。

參考文獻

[1] 張景中.好玩的數學（系列叢書）[M].北京：科學出版社，2002.

[2] 傅世球.數學解題教學與數學美[J].數學通報，2004（11）.

[3] 劉萍.數學美的哲學思考[J].數學教育學報，1992（2）.

[4] 曹一鳴.中國數學教育哲學研究30 年[M].北京：科學出版社，2011.