兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)中的廣義拉格朗日乘子

摘 要 在一個(gè)帶有非負(fù)和不等式約束的優(yōu)化問題有最優(yōu)解的情形下，存在著廣義拉格朗日乘子即資源的影子價(jià)格.本文探索給出馬克思兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)中的影子價(jià)格，為經(jīng)典的馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)理論增添新的重要內(nèi)容.首先使用 “價(jià)值系數(shù)法”替代單純形法，簡便地求得了擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的最優(yōu)解.然后運(yùn)用庫恩-塔克條件，確立了關(guān)于最優(yōu)解與廣義拉格朗日乘子的互補(bǔ)松弛條件的三個(gè)不等式組.進(jìn)而利用這些不等式組和已知的最優(yōu)解，簡便地解出廣義拉格朗日乘子，即兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)中的影子價(jià)格.最后引用和借鑒《資本論》中的兩個(gè)舉例，對所獲得的影子價(jià)格和目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值做了計(jì)算驗(yàn)證.

關(guān)鍵詞 擴(kuò)大再生產(chǎn)；影子價(jià)格；拉格朗日乘子；最優(yōu)解；庫恩塔克條件

1 引 言

影子價(jià)格是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論中的一個(gè)重要概念，又為稱“最優(yōu)價(jià)格”，是在市場達(dá)到某種最優(yōu)均衡狀態(tài)時(shí)的各種資源價(jià)格.影子價(jià)格對于資源配置具有重要的理論意義[1，2].陶為群、陶川（2012）就一般情形運(yùn)用單純形法，給出了馬克思兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的線性規(guī)劃的最優(yōu)解[3]，因此可以確定擴(kuò)大再生產(chǎn)中存在著影子價(jià)格.獲得擴(kuò)大再生產(chǎn)中的影子價(jià)格，可以使經(jīng)典的馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)理論增添新的重要內(nèi)容和拓展出新的研究領(lǐng)域.在馬克思兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)問題有最優(yōu)解的情形下，資源的影子價(jià)格就是廣義拉格朗日乘子，而庫恩-塔克條件能夠確立關(guān)于最優(yōu)解與廣義拉格朗日乘子的互補(bǔ)松弛條件的不等式組[1，4].陶為群（2012）探索運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求解兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成[5]，為在社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)中尋求廣義拉格朗日乘子提供了啟示.本文首先使用 “價(jià)值系數(shù)法”簡便地求得馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)問題的最優(yōu)解，然后運(yùn)用庫恩-塔克條件確立了含有最優(yōu)解與廣義拉格朗日乘子的三個(gè)不等式組.運(yùn)用這些不等式組和已知的最優(yōu)解，能夠簡便地解出廣義拉格朗日乘子，即兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)中的影子價(jià)格.

2 兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的簡化線性

方程組和目標(biāo)函數(shù)

馬克思社會(huì)再生產(chǎn)理論以社會(huì)再生產(chǎn)公式集中體現(xiàn).經(jīng)典的再生產(chǎn)公式是一個(gè)研究兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)問題的基本模型.簡略地講，馬克思再生產(chǎn)公式就是表示社會(huì)再生產(chǎn)中生產(chǎn)資料、消費(fèi)資料兩個(gè)部類的產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成和生產(chǎn)資料、消費(fèi)資料總產(chǎn)品的供給與需求怎樣均衡的一組等式.從不同作用的區(qū)別來看，這組等式包括了定義方程、行為方程和均衡條件三種類型的方程.再生產(chǎn)公式具有十分明確的結(jié)構(gòu).把社會(huì)再生產(chǎn)中生產(chǎn)生產(chǎn)資料部類、消費(fèi)資料的分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類，分別以Cj，Vj，Mj，Yj表示第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）的不變資本、可變資本、剩余產(chǎn)品（價(jià)值）、新創(chuàng)造產(chǎn)品；以hj，ej表示資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率.那么按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式，在每個(gè)部類內(nèi)部，不變資本、可變資本、剩余產(chǎn)品、新創(chuàng)造產(chǎn)品之間的關(guān)系被下面的定義方程所確定.