課本習題中的小秘密

蘇教版必修二課本第77頁有這樣一道習題：已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過定點A（1，2），求過兩點P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線方程.本題的解法是：因為兩直線都過A（1，2），所以a1+2b1+1=0，a2+2b2+1=0.由于（a1，b1）和（a2，b2）均適合方程x+2y+1=0，所以所求直線方程為x+2y+1=0.這種求直線方程的方法不同于我們求直線方程的常規方法，它是從一個式子中抽象出一個直線方程，從而得到某個點在該直線上.當從兩個式子中抽象出來的直線方程相同時，就可以得到某兩個點在同一條直線上.由于兩點確定一條直線，所以該直線就是經過這兩個點的直線.那么如何由一個式子抽象出直線方程來呢？其實只需將所給式子中的某兩個數換成x，y即可.舉個例子：從2×7-3×4-2=0中可以抽象出很多直線方程，如直線2x-3y-2=0，并可以得到點（7，4）在該直線上；再如還可以抽象出直線2x-4y-2=0，并得到點（7，3）在該直線上.對于上面習題中的a1+2b1+1=0，我們其實還可以抽象出很多直線方程.如直線x+b1y+1=0，且可知點（a1，2）在該直線上.當從兩個式子中抽象出同一條直線方程時，這兩個式子必然有著相同的形式.我們只需保留兩個式子中的相同元素并用x，y替換掉不同的元素，就可以得到同一個直線方程了.利用這種思想來求直線方程是一種新的方法，我們不妨把它稱為“抽象法”.下面我們就來看看抽象法的應用.

蘇教版必修二課本第105頁習題第7題：已知圓C的方程是x2+y2=r2，求證：經過圓C上一點M（x0，y0）的切線方程是x0x+y0y=r2.證明如下：因為M（x0，y0）是圓C上的點，所以x20+y20=r2，（根據上面抽象直線方程的方法）由此可得M（x0，y0）在直線l：x0x+y0y=r2上，又因為圓心（0，0）到l的距離d=|r2|x20+y20=r2r=r，所以直線l與圓C相切，因此x0x+y0y=r2就是過M（x0，y0）且與圓C相切的直線方程.

利用結論：“過圓C：x2+y2=r2上一點M（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2”及求直線方程的抽象法我們來解決下面的問題.

已知圓C：x2+y2=4，過圓C外一點P（3，4）作圓的兩條切線PA、PB，切點為A、B，求AB所在直線方程.解法如下：設A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA的方程為x1x+y1y=4，直線PB的方程為x2x+y2y=4，因為P（3，4）在兩直線PA，PB上，所以有：3x1+4y1=4，3x2+4y2=4，由抽象法可得A（x1，y1）和B（x2，y2）都在直線3x+4y=4上，因此AB所在直線方程為3x+4y-4=0.用這種方法可以證明過圓C：x2+y2=r2外一點P（x0，y0）作圓的切線，則兩個切點所在的直線方程為：x0x+y0y=r2.

蘇教版必修二課本第106頁習題第8題的第二問是：已知圓C：x2+y2=r2，直線l：ax+by=r2，當P（a，b）在圓外時，直線l具有什么特點？教參上的解答是：因為P（a，b）在圓外，所以，a2+b2>r2，又因為圓心到直線l的距離d=r2a2+b2

由上面對課本習題的深刻研究可以看出教材習題的編寫真是層層遞進，只要我們回歸課本深挖教材，一定會有不小的收獲.

（責任編輯 黃桂堅）