高等數學課“問題—情景教學”的探討與實踐

［摘 要］高等數學由于自身特點的原因，他的教學設計應當更密切地與數學問題-情景、教學對象相聯系著.本文探討了高等數學課問題-情景教學的主要特點和實施途徑，給出了兩個教學設計的片斷.

［關鍵詞］高等數學 問題-情景教學 數學創造 知情互動

［中圖分類號］ ［文獻標識碼］ ［文章編號］ 2095-3437（2013）02-0109-03

一、數學問題-情景教學的必要性

張奠宙教授指出：“數學教師的任務在于返璞歸真，把數學的形式化邏輯鏈條，恢復為當初數學家發明創新時代火熱的思考。只有經過思考，才能最后理解這份冰冷的美麗。”

在高等數學教學中，如何提高教學質量、培養學生的創新能力，是當前高等數學教學質量工程中的核心問題，也是緊迫問題。高數課中傳統的教學方法基本持“去情景”的觀點，往往只注重數學知識的傳授，教師講的主要是定義、定理及其證明、公式、法則及例題等冰冷的數學知識，很少介紹知識的背景、理論是如何被發現的、知識產生的過程中火熱的思考是怎樣的。這樣，使不少學生對高等數學感到枯燥乏味，甚至望而生畏。 因此，筆者和一些教師認為可以把高數課的“問題-情景教學”的數學問題-情景的教學設計當做高等數學教學質量提升的切入點。

二、數學問題-情景教學的特點及其實施途徑

數學問題-情景教學，就是要把讓學生學習的知識、結論和方法不作直接展示，而是通過創設問題情景，提出啟發性和挑戰性的問題，給學生動手、動筆、動腦、參與的機會，讓學生通過實驗、計算、觀察、猜想、嘗試、分析、綜合、類比發現的探索過程；學會交流、學會學習、學會接受問題、提出問題、分析問題和解決問題，并上升為理性認識，形式新的認知結構。從而使學生了解、接觸數學創造的真實過程，有助于學生創新意識和創新能力的培養。

數學問題-情景教學設計的準備工作主要是教師在了解學生的知識基礎、專業需求的基礎上，明確教學內容的核心概念或關鍵知識點是什么，尋找其歷史和現實的背景材料，分析相關的銜接過渡知識，預定討論要達到的目標（適當留有余地），聯系本學段教學的主線，考慮如何定出學生參與的切入點，要使用的教具等。

數學問題-情景要圍繞教學內容的核心概念或關鍵知識點精選素材，精選作鋪路搭橋的基礎知識的過渡問題。 數學問題-情景的設置，要密切聯系學生實際，設計讓學生跳一跳就能夠得著的“學生知識的最近發展區”的問題，也讓學生感到對數學的需要是必須解決的問題，能有效地激發學生的學習欲望，使學習變得生動、有趣，教學過程開放，學生變得主動、自覺、積極性高，樂于自主地探索相關的數學問題。并能不斷提問和討論，形成多維互動的教與學的良好局面。教師則要靈活多樣地做好導演，適時適度地點撥、分析、激疑、激趣，不斷引起學生認識上的不平衡狀態，使學生不斷領悟、理解、熟悉相關的數學思想、數學方法。進而使學生主動自覺地建構新的認知結構，有效利用原有的認知結構使新知識得到同化或順應，以達到對新知識點掌握的目的。師生在輕松愉快的情境下知情互動，學生變被動接受為主動探究，富有個性地自我建構，極大地激發他們的學習熱情。

三、數學問題-情景教學設計的實踐案例

以下給出教學實踐中的兩個案例的片斷，權當拋磚引玉。

（一）格林公式教學的問題-情景教學設計

格林公式的提出，往往會使學生感覺突然，別扭。為了改變這種狀況，可以根據聯想和類比的數學思維設計問題情景，嘗試數學問題-情景教學。

1.首先布置復習性練習

練習1 設閉區域D的邊界曲線L由L1和L2構成，正向如圖1所示，計算下列各式后觀察、比較；并假設P=P（x，y）=-2xy，Q=Q（x，y）=-2x2，進行猜想。

■

■

其中，L1∶y=x2，x從0變到1；L2∶y=■，x從1變到0.

2.學生會得到第一層次的結論

■

3.同學中適當討論，有人會得到第二層次的結論

■＝-2x，-■＝2x（引導：是二重積分■2xdxdy的被積函數）；

■=4x（學生會觀察到：是二重積分■4xdxdy的被積函數）。

4.讓學生猜想，不難得到

■

這就是格林公式的雛形，是將等式（1）和（2）一般化后得到（i）和（ii）。

讓學生尋找函數P=P（x，y）、Q=Q（x，y）和積分曲線L及積分區域D分別要滿足的條件。

5.先從練習1的具體圖形中發現如下條件

①閉曲線L是閉區域D的邊界曲線且取正向； ②P=P（x，y）、Q=Q（x，y）在D上具有一階連續偏導數；③區域D既是X-型區域又是Y-型區域。

事實上，D是X-型區域時，可證明（i）式成立；D是Y-型區域時，可證明（ii）式成立。在條件D既是X-型區域又是Y-型區域時，兩式兩端分別相加得：

■

這是格林公式的奠基，也是格林公式的第一步證明。

6.在以上結論的基礎上，如何作推廣應用

（1）保持條件①②把條件③的閉區域D既是X-型區域又是Y-型區域推廣到一般的單聯通區域；（可以證明（a）式仍然成立）。

（2）保持條件①②把條件③的閉區域D一般的單聯通區域推廣到復聯通區域。 （可以證明（a）式仍然成立）。

這就是完整的格林公式（的條件和結論）。

7.公式如何應用

格林公式研究的必要性及重要性可以在下面四方面應用中體現：

（1）計算某些曲線積分，一般是當■-■=常數，且D的面積易求（例略）；

（2）計算一些二重積分難于解決的二重積分。

例如，計算■e-y2dxdy，其中D為O（0，0），A（1，1），B（0，1）為頂點的三角形閉區域。

（3）曲線積分與路徑無關的條件及其應用（后續）；

（4）二元函數全微分求積的充要條件及其應用（后續）。

（二）常數項級數概念教學的問題-情景設計

常數項級數及其斂散性的概念的教學，往往會比較呆板，使學生感到味同嚼蠟。為了改善學生對數學及其內容的認識，使之親近數學，可以設計較為抒情的寓意歷史文化內涵的數學問題-情景。

1.首先介紹春秋戰國時期哲學家莊子在《莊子·天下篇》中對“截丈問題”的一句名言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”要求學生：（1）把這1尺的棒，每天截下的那一部分長度“加起來”，寫出數學表示式；（2）對你的數學表示式觀察思考，提出你的若干問題。

學生會表示成：■+■+■+…+■+… （*）

（視情況點撥：初等數學里知，有限個數相加的和是一個確定的數，（*）式是無限個相加，其結果會是怎樣？）適當選出學生的問題，如：

（1）無限個數相加有意義嗎？

（2）無限個數相加即使有意義，會是一個確定的數嗎？

（3）無限個數相加即使是一個確定的數（稱為“和”），那怎么求？

2.引導猜想探索

直觀地猜想每天截下的那一部分長度“加起來”的“和”是多少？

答：1。

為什么？討論理由。

可能回答：因為長度1尺的木棒，無限次地截取剩下部分趨于0，所以每天截下的那一部分長度“加起來”的“和”應該是1。

3.提升探索層次

我們從原來客觀問題實際意義猜想（*）的“和”是１，建議大家嘗試把未知的問題轉化為已知的問題來求解的方法，試一試如何用所學過的數學知識來證明這個猜想。（讓學生動筆，動腦，也鼓勵討論，選出如下線索）

前２天截下的那部分長度加起來的和是■+■＝■.（＝1-■）；

前３天截下的那部分長度加起來的和是■+■+■＝■.（＝1-■）；

前４天截下的那部分長度加起來的和是■+■+■+■＝■（＝1-■）；

前ｎ天截下的那部分長度加起來的和是■+■+■+…+■＝1-■）。

點撥：可以找到什么規律嗎？（思考，討論）

前１，２，３，４，…，ｎ，…，天截下的那部分長度加起來的和是一個數列：a1=■，a2=■，a3=■，…，an=1-■.…

學生還會觀察到這一數列是單調增加數列，并且有上界，所以它的極限存在，而且就是１。

4.抽象出概念

定義１ 設給定一個數列a1，a2，a3，…，an，…，則a1+a2+，a3，+…+an+…，或記為■an稱為（常數項）無窮級數，簡稱級數。其中稱為一般項或通項。

有限和式■ak稱為級數■an的前ｎ項部分和，簡稱部分和；無窮數列S1，S2，…，Sn，…稱為級數■an的部分和數列，記作｛Sn｝。

定義２ 若級數■an的部分和數列｛Sn｝的極限存在，即■Sn=S，則稱級數收斂，其和為S，記作■an=S。

類似地，可以引導學生得到級數發散的概念，詳細可參考文獻［5］。

5.強化

收斂級數中體現的“極限思想”在實際應用中屢見不鮮。如劉徽的《九章算術注》中，對圓的面積計算寫有“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”

如何計算圓的面積？運用化未知為已知、以直（線性）代曲（圓）、從近似到精確的轉化思想，結合構造級數來解決。

（１）一圓的半徑（設為R）為邊長作圓內接正６（6=3·2）邊形，設其面積為u1；u1作為圓的面積近似值，誤差較大（如圖2）；

（２）分別以６邊形各邊為底邊作等腰三角形，設這６個三角形面積之和為u2，則以正１２（12=3·22）邊形的面積u1+u2作為圓面積的近似值，誤差小一些；

（３）分別以１２邊形各邊為底邊作等腰三角形，設這１２個三角形面積之和為u3，則以正２４（24＝3·22）邊形的面積u1+u2+u3作為圓面積的近似值，誤差再小些；

（４）分別以3·2n-1邊形各邊為底邊作等腰三角形，設這3·2n-1個三角形面積之和為un，則以3·2n正邊形的面積u1+u2+u3+…+un作為圓面積的近似值，誤差更小了；

……

由此，我們得到一個數項級數：u1+u2+u3+…+un+…，直觀判斷它的和就是圓的面積。

通過對劉徽“割圓術”的分析，可以強化級數收斂概念。

一堂生動活潑、具有教學藝術魅力的好課猶如一支悠揚的樂曲，起調扣人心弦；主旋律引人入勝；“高潮”讓人心潮澎湃；終曲余音繞梁。高等數學課的“起調”和“主旋律”都可以設計有效的數學問題-情景，對學生能撥動心弦，立疑激趣，促使學生的學習情緒高漲，激情迸發，調動智力的振奮狀態，使之主動自覺地探求和構建新知識，造就主動學習的良性循環。 大學里數學老師都來關注各種類型的數學課的數學問題-情景的教學設計，必將大大提高大學數學的教學質量，也將對培養創新型人才培養作出有益的貢獻。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 張奠宙.關于數學知識的教育形態［J］.數學通報，2001，（5）：3.

［2］ 周桂林.巧妙提問，創設問題情景——高等數學教學方法談［J］.高等教育研究學報，2003，（4）：48-49.

［3］ 吐洪江.高等數學主題情景教學模式探索［J］.高等數學研究，2007，（2）：41-43.

［4］ 鄔振明.試論《數學課程標準》的情感目標的貫徹［J］.惠州學院學報，2004，（6）：109-112.

［5］ 周秀琴，霍曙明.高等數學“問題－情景教學法”教學實踐［J］.科技信息－高校理科研究，2008，（2）：137-138.

［責任編輯：林志恒］