淺析特征函數、母函數的概念教學及其應用

［摘 要］正確認識和理解基本概念是學好概率論的前提和基礎。本文淺析了對特征函數、母函數的概念的認識和理解，并舉例說明了它們在解決問題中的應用。

［關鍵詞］特征函數 母函數 應用

［中圖分類號］ Ｏ１７４ ［文獻標識碼］ Ａ ［文章編號］ 2095-3437（2013）02-0047-02

概率論是研究隨機現象統計規律的一門數學分科，用隨機變量來描述隨機現象，使得概率論從研究定性的事件及其概率擴大為研究定量的隨機變量及其分布，從而擴充了研究概率論的數學工具，特別是便于使用經典分析工具，使得概率論真正成為一門數學學科。分布函數是用來完整地描述隨機變量分布規律（取值及取值規律）的最基本的方法，特征函數是概率論中的一個重要分析工具，它和分布函數之間存在一一對應的關系，可以使用特征函數來分析研究隨機變量，并且可以大大簡化有關隨機變量的一些計算和證明，然而在研究僅取非負整數值的隨機變量時，以母函數代替特征函數比較方便。可是在教學過程中發現，不少學生對特征函數和母函數的概念沒有正確認識，甚至出現一些錯誤的認識和理解，從而導致計算的盲目性。本文主要探討了對特征函數與母函數的概念的認識和理解，并通過實例介紹了它們的一些應用，以期對學習概率論能起到一定的指導作用。

一、特征函數

（一）特征函數的定義及性質

設Ｘ是一個實值隨機變量，其分布函數為F（x），則稱eitX的數學期望EeitX為隨機變量X或其分布函數F（x）的特征函數，記為？漬X（t），即？漬X（t）=EeitX=■eitXdF（x），其中i=■，t∈R。

分析 按照定義，特征函數是一個實變量的復值函數。由于對任意實數t∈R，都有eitX=（costX）2+（sintX）2=1，所以任何隨機變量的特征函數總是存在的。并且它能把尋求獨立隨機變量和的分布的卷積運算（積分運算）轉換成乘法運算，還能把求分布的各階原點矩（積分運算）轉換成微分運算，特別地它能把尋求隨機變量序列的極限分布轉換成一般的函數極限問題。下面介紹特征函數的主要性質。

性質1 如果隨機變量Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘn相互獨立，則■。

分析 特征函數的這一性質在證明隨機變量列的極限問題時將發揮重要作用，然而這一性質的逆不成立。在教學中我們舉如下例子來說明逆不成立，以此來加深學生對此性質的理解。

例1設二維隨機變量（Ｘ，Ｙ）的聯合密度函數為p（x，y）=■［１＋xy（x2-y2）］，x＜1，y＜10，其他.，可以證明X+Y的特征函數等于X，Y的特征函數的乘積，但是X與Y并不相互獨立。

性質2 如果隨機變量X有n階（原點）矩，則它的特征函數可微分n次，并且有Ek=（-i）？漬■（0），k=1，2，…，n成立。

分析 性質2表明，如果已知隨機變量的特征函數，且其矩存在，則可以通過對特征函數微分來求得隨機變量的矩，這比由分布函數通過積分求矩要簡單的多。

（二）特征函數的應用舉例

１．求獨立隨機變量和的分布的卷積運算（積分運算）轉換成乘法運算

在概率論中，獨立隨機變量和的問題占有“中心”地位，用卷積公式去處理獨立隨機變量和的問題是常用的方法但相當復雜，然而可以很方便的運用特征函數相乘求得獨立隨機變量和的特征函數，由此大大簡化了處理獨立隨機變量和的難度。

例2 設隨機變量Ｘj服從二項分布B（nj，p），j=1，…，m.且相互獨立，求證■Xj服從二項分布B（■nj，p）。

分析 可以使用卷積公式通過復雜的計算證明二項分布的上述可加性（例如，參見文獻[1]），現在用特征函數方法可以很方便地證明二項分布的可加性。

證明 因為Xj服從二項分布B（nj，p），它的特征函數為■（t）=（peit+q）n j，j=1，2，…，m.由于X１，…，Xm相互獨立，所以，根據性質1有■Xj的特征函數為■，由唯一性定理知■Xj服從二項分布B（■nj，p）。

2.求分布的各階原點矩（積分運算）轉換成微分運算

例3 利用特征函數的方法求伽瑪分布Ga（α，λ）的數學期望和方差。

解 因為伽瑪分布Ga（α，λ）的特征函數及其一、二階導數為？漬（t）＝（1-■）-α，？漬′（t）=■（1-■）-α-1，？漬′（0）＝■；？漬″（t）=■（1-■）-α-2，？漬″（0）＝-■；所以，根據性質2有EX＝■=■，DX=-？漬″（0）+（？漬′（0））2＝■。

3.求隨機變量序列的極限分布轉換成一般的函數極限問題

例4 （辛欽大數定律）[2]設Xn，n＝1，2，…是獨立同分布的隨機變量列。如果Xn的數學期望存在，EXn=a（與n無關），則對任意的ε＞0，有■P（■■Xk-a＜ε）＝1。

證明 由于■P（■■Xk-a＜ε）＝1等價于Yn=■■Xk以分布收斂于a，再根據連續性定理，只要證？漬Yn（t）→eia t（n→∞）。設Xn（n≥1）的共同的特征函數為？漬（t）。根據性質2，？漬′（0）=iEX1=ia，從而？漬（t）有泰勒展開式？漬（t）=？漬（0）+？漬′（0）t+o（t）=1+iat+o（t）。所以Yn=■■Xk的特征函數為［？漬（■）n=［1+■+o（■）］n。故有■［？漬（■）n］＝eiat，即？漬Yn（t）→eia t（n→∞）。

（二）母函數

1.母函數的概念及其性質[3]

設隨機變量X的分布列為pk=P（X＝k）（k=0，1，2，…），其中■pk＝1，稱P（s）＝EsX=■pk sk為隨機變量X的母函數。

性質3 非負整數值隨機變量的分布列由其母函數唯一確定。

性質4 獨立隨機變量之和的母函數等于它們母函數的乘積。

2.母函數的應用舉例

例5 從裝有號碼為1，2，3，4，5，6的小球的袋中，有放回地抽取5個球，求所得號碼總和為15的概率。

解 令Xi為第i次取得的小球的號碼，且Xi相互獨立，X=X1+X2+…+X5為所取球號碼的總和。Xi的母函數為Pi（s）=■（s+s2+…+s6），根據性質4有，X的母函數為P（s）=■（s+s2+…+s6）5＝■（1-s6）5（1-s）-5，所求概率為P（s）展開式的s15的系數，因此P（X＝15）＝■。

分析 針對上述古典概型問題，很多教科書都使用排列、組合的方法來求解，計算比較復雜，而且在有些復雜場合排列、組合的方法難以湊效。從例5的求解中可以看到，利用母函數求取非負整數值隨機變量的概率問題比較簡便。關于利用母函數方法求解古典概率問題，讀者可參見文獻[4][5]等。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 茆詩松，程依明，濮曉龍. 概率論與數理統計教程［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］ 丁萬鼎，劉壽喜等. 概率論與數理統計［M］.上海：上海科學技術出版社，1987.

［3］ 王志剛.應用隨機過程［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

［4］ 朱松濤，唐秋晶.利用母函數方法求解古典概率問題［J］. 濟寧師專學報，1997，（3）：13-15.

［5］ 農吉夫. 概率母函數在求非負整數值隨機變量分布的應用［J］.大學數學，2009，（4）：203-206.

［責任編輯：林志恒］