關(guān)于十字相乘法分解因式的思考

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 十字相乘 因式分解

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）04B-

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在初中階段的數(shù)學(xué)教材上，關(guān)于分解因式的內(nèi)容篇幅較少，用十字相乘法進(jìn)行分解因式的內(nèi)容在現(xiàn)行的教材中已經(jīng)找不到。然而，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用十字相乘法進(jìn)行因式分解，既能開拓學(xué)生的思維，也能讓學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)帶來便利。

十字相乘法主要是對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，它被廣泛應(yīng)用于求解一元二次方程、求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、求二次不等式的解集等。因此教會(huì)學(xué)生使用十字相乘法，對(duì)于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

一、何謂“十字相乘法”

所謂的“十字相乘法”就是借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而把二次三項(xiàng)式分解因式的方法。如圖，十字左邊兩個(gè)因數(shù)相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊兩個(gè)因數(shù)相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘所得的結(jié)果再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)，這時(shí)二次三項(xiàng)式可分解為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積。

如果二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，則可先提出負(fù)號(hào)到括號(hào)外面，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再進(jìn)行因式分解。在二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的情況下，分如下兩種情況進(jìn)行討論。

從以上的解題過程我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，每個(gè)因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，并且使得十字連線上的兩個(gè)數(shù)的乘積結(jié)果絕對(duì)值較大的一組的等號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。

用十字相乘法分解因式還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤：一是沒有認(rèn)真驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母。

二、“十字相乘法”的應(yīng)用

求函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)經(jīng)常碰到的一個(gè)問題，求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)往往是學(xué)生感到比較困難的一節(jié)內(nèi)容，它與相應(yīng)的二次方程的解題運(yùn)算有著密切的聯(lián)系，能快速解方程則讓學(xué)生在解這類題目時(shí)就感到輕松許多。

二次不等式的內(nèi)容到高中才出現(xiàn)，從上面的例題可以看到，利用“十字相乘法”快速解方程是解題的關(guān)鍵。

“十字相乘法”應(yīng)用于分解因式、求解一元二次方程、求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、求二次不等式的解集等問題時(shí)，解題速度較快，能夠節(jié)省很多做題時(shí)間，也不容易出錯(cuò)，特別是到高中或大學(xué)學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)時(shí)，“十字相乘法”在解題時(shí)更是得心應(yīng)手。但是，在用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的時(shí)候，需要經(jīng)過多次嘗試，甚至?xí)霈F(xiàn)有的二次三項(xiàng)式根本無法用“十字相乘法”來分解因式，教師要讓學(xué)生明白，并不是每一個(gè)二次三項(xiàng)式都適合用“十字相乘法”來分解因式，它只適用于能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解的二次三項(xiàng)式。

教師在教學(xué)過程中應(yīng)讓學(xué)生盡量多的掌握一些解題方法與技巧，以減輕學(xué)生的解題難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（責(zé)編 韋 力）