拋物線問題中幾種最值問題求解策略

內容提要：為不斷提高學生學習的興趣，提高教學質量，教師必須認真引導學生探究拋物線的最值問題，爭取讓學生通過學習掌握拋物線的最值問題，讓學生對于拋物線最值問題有一個系統的解決思路與方法。文章通過實例分析的方法從構建函數關系求拋物線問題中的極值、數形結合求拋物線問題中的極值等方面對求拋物線問題中的極值問題進行了系統的總結。為高中數學拋物線極值問題的求解提供了參考。

關鍵詞：拋物線；最值；函數；數形結合；求解策略

中圖分類號：G623.5

在高中數學教學過程中，拋物線問題中的最值問題是最常見的問題之一，也是高中數學教學中的難題，是每一年高考試卷中的熱點問題。為不斷提高學生學習的興趣，提高教學質量，在教學過程中，教師必須認真引導學生探究拋物線的最值問題，爭取讓學生通過學習掌握拋物線的最值問題，從而讓學生對于拋物線最值問題有一個系統的解決思路與方法。作者在多年的高中數學教學過程中，總結了一系列拋物線問題中幾種最值問題的求解方法，現總結如下。

一、構建函數關系求拋物線問題中的極值

在解決高中數學中幾何問題時，為幫助解決問題，常常引入函數和方程的解題辦法，如果題目中所給條件中的參數和目標存在著函數關系，那么，教師就可以引導學生構建函數，再轉化成函數最值的方法解決問題。

例1：如右圖所示，P點可以在拋物線y2=4x上任意滑

動，點M（n，0）（n?R）是x軸上的定點，試求P點

滑動到什么位置時，P點和點M 之間的距離達到最小

值，其最小值為_________。

解：由于點M（n，0）是x軸上的定點，P點為動

點，設P點的坐標為（x1，y1），設P點到點M（n，0）

之間的距離為L，由兩點之間的距離公式得：

L2=（x1-n）2+y12 ·······························（1）

而y12 =4x1，

因此，（1）可以轉變成關于x1（x1?[0，+∞）這個變量的函數了。

于是L2=（x1-n）2+y12

=（x1-n）2+4x1

=[x1-（n-2）]2+4n-4，

由于x1?[0，+∞），按照二次函數圖像性質，可以知道：當n—2≤0，也就是n≤2時，L2在x1=0時可以取得最小值，其最小值等于n2；當n—2>0，也就是n>2時，L2在x1=n—2時可以取得最小值，其最小值等于4n—4.

因此，根據上式可知，當n≤2時，拋物線上任意滑動的點P和點M（n，0）之間的距離L之間的最小值為|n|，此時所得到的最小值的點就是原點（當n<0時，點M位于x軸上原點的左邊，在這種情況下，拋物線頂點O和M之間的距離最小，其最小值等于-n）；當n>2時，拋物線上滑動的點P和M（n，0）之間距離的最小值L等于 ，此時P點的橫坐標為n-2。

二、數形結合求拋物線問題中的極值

所謂數形結合就是使用“數”解決“形”的問題，或者用“形”幫助“數”來解決問題，這樣可以使抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化。在求解拋物線問題中的極值問題時，我們可以通過移動某些點或者對直線進行平移的方法找到最佳答案，最佳的答案經常會出現在相對特殊的點位上，那么我們就可以通過這樣的關系發現特殊的位置，并使用代數關系對特殊位置中的點或者直線的方程進行確認，從而引導學生快速解決問題。

例2：如右圖，拋物線y2=4x和直線L：y=2x—4相交于點M、N，請在拋物線MON段上找到一點P，并且保證三角形PMN的面積為最大值，并且計算出最大值為_________。

解：由于拋物線和直線L相交，根據弦長公式可以計算出|MN|=3 ，

當P點到直線L 之間距離達到最大值時，三角形PMN的面積達到最大值，此時，可以通過切線法求出點P 的位置。

將直線L平移到和拋物線相切的位置（如右圖），設L1的方程為y=2x+a，聯立兩個方程y2=4x和y=2x+a

可以得到公共方程：4x2+4（a-1）x+a2=0。

此時，切點符合：Δ=16（a-1）2-16a2=0，從而得知：a= .

則，和MN平行并且和拋物線相切直線的方程就是：y=2x+ ，

兩條平行線間的距離就是P點到直線L之間的最大距離，通過兩條平行線之間的距離關系可以計算出d= ，因此三角形PMN的最大面積為：

在例2中，通過聯立方程組解決相切直線的問題是行之有效的解題方法，另外，解決例2也可以使用例1 的方法。

總之，在高中數學教學拋物線最值問題的求解策略中一定要認真把握拋物線的性質和特征，并將其和函數關系相結合，通過構建函數，數形結合等方法解決最值問題。同時，在教學過程中，教師還要認真分析不同學生的特點，針對不同的學生采取不同的方法進行引導，只有這樣，才能真正幫助學生掌握拋物線的極值問題，為今后的學習打下堅實的基礎。

參考文獻

[1]孫曉明.由一道拋物線最值問題得到的啟示[J].中學生數理化（高二版），2008，01

[2]李自設.一道拋物線最值問題的求解及結論的推廣[J].高中數理化，2011，21

[3]樊曉敏，苗艷平，李三杰，許天亮.例談構造法在組合最值問題中的應用[J].中國商界：上半月，2012，12

[4]包守霞.小議含參數的絕對值不等式的解集問題[J].試題與研究：新課程論壇，2012，21