稀疏表示理論在提高數字圖像質量中的應用

摘 要：稀疏表示理論是一種新興的信號表示模型，廣泛應用于各種信號和圖像處理任務中。介紹了稀疏表示模型及其在提高圖像質量中的應用，并指出了該理論在圖像處理中急需解決的問題。

關鍵詞：稀疏表示 圖像質量 幾何結構

中圖分類號：TP3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2012）12（c）-00-01

1993年Mallat和Zhang提出了信號的稀疏表示，在信號逼近上取得了出色的表現，迅速引起了廣大學者的普遍關注，信號稀疏表示研究很快被從一維信號推廣到二維信號圖像的研究上。

稀疏表示的模型可以表示為：

式中為向量的l0范數，表示向量x中非零元素的個數，x即為信號y的稀疏表示。

在數字圖像處理中，由于圖像的數據信息具有冗余性，為冗余字典，因此可以在冗余字典上進行稀疏表示，y則為圖像子塊的列向量表示。如何構造表達能力強、訓練簡單的冗余字典是圖像處理中的關鍵一步，自稀疏表示理論的提出，在圖像去噪、去模糊、超分辨率、圖像修復等方面得到了廣泛的應用，取得了比傳統方法更好的處理結果。

1 稀疏表示理論在提高數字圖像質量中的應用

Michael Elad是較早將稀疏表示理論應用于圖像去噪與超分辨率的代表人物[1]，他將K均值聚類方法引入字典訓練過程中。在K均值算法中，求解一個包括K個代碼的碼本，使得在此碼本上，根據最鄰近分配法則，對包含N個信號的集合進行分類，得到最佳分類。在稀疏表示中，稀疏表示的過程可以看做廣義矢量量化過程，其中的每個信號用多個代碼的線性組合表示。當要求K-SVD中的每個信號只能用一個原子來近似時，K-SVD算法就退化為K均值算法。K-SVD在稀疏編碼與字典更新之間交替迭代，保證總誤差單調下降，因此可保證能收斂到局部（或全局）最小值，從而得到性能優良的過完備字典。K-SVD訓練字典方法廣泛的應用在圖像復原問題上。基于K-SVD訓練得到的過完備字典，取得了較好的圖像去噪與超分辨率結果。

統計學中的主成分分析（PCA）的概念，也被引入到字典訓練當中。在統計學當中，變量個數太多會增加問題的復雜性主成分分析作為一種統計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，簡化復雜問題。PCA的核心思想，就是將高維數據投影到低維空間。尋找 r 個新變量，使其反映事物的主要特征，每個新變量是原有變量的線性組合，體現原有變量的綜合效果，則這 r 個新變量稱之為“主成分”，它們兩兩正交不相關。這 r 個主成分可以在很大程度上反映原來變量的信息。Hui Zou引入了SPCA（Sparse PCA）的概念，他修改了傳統的PCA方法，利用主成分負載的稀疏性，使算法變得更加易懂，且得到更為稀疏的結果。

形態學成分分析（MCA）作為一種新興的信號分解方法，吸引了很多人的注意。MCA根據圖像信號組成成分的形態差異性，將圖像內容分割為紋理區域和卡通區域。不同區域其擬合字典類型不同。小波變換可以很好的表示圖像光滑區域的特征，curvelet變換通過帶方向的局部傅里葉基，可以有效的處理邊緣特征。離散余弦變換（DCT）以及Gabor變換是紋理區經常采用的兩種處理方式。MCA充分的考慮了圖像的結構組成部分以及內部特征，廣泛用于盲源分離、圖像分解、圖像修補等。

Julien Mairal將自然圖像的自相似性引入到圖像恢復模型中。圖像的自相似性，其根本是自然圖像的統計特征。Julien Mairal非局部模型與稀疏編碼結合成一個框架，將噪聲在相似塊之間進行平均，取得了較好的去噪、去馬賽克結果。同樣，自相似性在圖像去模糊、圖像修補方面也展示了其良好的性能。

Weisheng Dong提出了一種新的圖像復原模型CSR，利用減小退化圖像分解系數與原圖分解系數之間的差異來達到復原圖像的目的，其本質是自相似性的應用。在超分辨率方面，他提出了自適應稀疏域選擇超分辨率算法，認為超分辨率重建結果的優劣很大部分取決于稀疏域的選擇，對輸入的樣本先采用K-均值聚類，采用PCA算法進行詞典訓練，將非局部相似性（NL）和圖像去噪中的自回歸（AR）模型與超分辨率重建模型有效結合，提高了超分辨率重建質量。

Nebojsa創造性的提出了圖像摘要的概念。他將圖像的特征提取為一幅摘要圖，在圖像處理過程中，對該摘要圖進行分解處理，這是合理并且有效的。Louise 利用該思想，在圖像去噪方面取得了較好的去噪結果。

Kostadin在變換域，通過一組協作濾波器，將一幅圖像中結構相似的二位塊聚合成一組，形成一個三維模型，以增強其表示的稀疏性。Aram利用該3D理論，建立了一個新的圖像模型—BM3D。BM3D在圖像復原方面表現了其卓越的性能。

最近，保持圖像幾何結構的思想吸引了很多人的注意。Samy Bengio將圖像分割成相互重疊的塊，結構相似的塊組成一個群組，分別對每個組進行分解訓練，這就是群組編碼的思想，其基本思想類似于非局部思想，也是利用了自然圖像的自相似性。關于結構稀疏方面的研究展示了結構分組比簡單不重疊的分組更一般的特性。例如，樹狀分組或是重疊分組。結構稀疏正則化具有十分廣闊的應用前景。結構稀疏PCA作為一種新型的有效的非凸稀疏方法，在字典訓練方面，可以取得較為理想的結果。

縱觀稀疏表示理論出現以后的圖像處理論文，廣大研究者著重于研究如何獲得表示能力強的冗余字典，以及通過結合多重約束，如平滑約束，相似性約束，幾何結構不變性約束等來得到高質量的圖像，近年來取得了很大的進展。但是稀疏表示屬于一種優化問題，涉及到字典學習和稀疏求解的計算過程比較復雜，因而對于該理論在圖像的實時處理上受到了限制，因此如何縮短計算時間也是這個模型急需解決的問題。

2 結語

該文介紹了稀疏表示模型，重點對其在提高數字圖像質量方面的應用進行了綜述，最后指出稀疏表示模型在圖像處理中要實用化必須縮短計算時間。

參考文獻

[1] Michal Aharon，Michael Elad，and Alfred Bruckstein.K-SVD：An Algorithm for Designing Overcomplete Dictionaries for Sparse Representation.IEEE Transactions on Signal Processing，2006.