新課標(biāo)理念下函數(shù)概念的教學(xué)

函數(shù)概念一直處于數(shù)學(xué)的核心位置，數(shù)學(xué)中的許多概念由函數(shù)派生、由函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)，德國數(shù)學(xué)家克萊因稱函數(shù)為數(shù)學(xué)的靈魂。如今函數(shù)概念幾乎滲透到每一個數(shù)學(xué)分支，函數(shù)是刻畫事物運動變化的重要工具，是使學(xué)生形成數(shù)學(xué)與客觀世界的聯(lián)系的認(rèn)識。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)作為基本數(shù)學(xué)思想和重要解題方法，貫穿于高中教學(xué)的始終，函數(shù)概念是學(xué)習(xí)函數(shù)知識的前提和基礎(chǔ)，必須對函數(shù)概念深刻理解和把握。

一個概念的形成是螺旋式上升的，對新概念的教學(xué)不僅是對結(jié)果的記憶，更是對方法和過程的探究。在函數(shù)教學(xué)上，從概念的具體問題出發(fā)，從集合的概念引出函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步把握其實質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的探究過程。提出問題、觀察歸納、概括抽象、拓展概念讓學(xué)生充分經(jīng)歷了具體到抽象、特殊到一般、感性到理性、直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R再發(fā)現(xiàn)過程。教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，創(chuàng)設(shè)機會和空間，激活學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，倡導(dǎo)學(xué)生積極參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識，從而培養(yǎng)能力。

一、函數(shù)概念教學(xué)的過程

1.背景引入：用集合，對應(yīng)語言定義函數(shù)問題。讓學(xué)生舉幾個初中學(xué)過的函數(shù)的例子，通過舉例回顧“變量說”。根據(jù)學(xué)生所舉例子，引導(dǎo)他們分別用解析式、圖表、格式表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)。

2.概括共同本質(zhì)特征得到概念本質(zhì)屬性：讓其他學(xué)生思考上面學(xué)生舉出的例子是函數(shù)的例子嗎？理由是什么？結(jié)合前面學(xué)過的集合，讓學(xué)生試著用集合和對應(yīng)的語言描述函數(shù)的概念，從而獲得函數(shù)概念的新認(rèn)識，最后歸納出準(zhǔn)確的函數(shù)數(shù)學(xué)語言描述。

3.概念辨析，以實例為載體分析關(guān)鍵詞：讓學(xué)生分析函數(shù)概念的關(guān)鍵詞有哪些？如何理解？

函數(shù)概念的核心是對應(yīng)關(guān)系，兩個非空數(shù)集A，B間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，則對于數(shù)集A中的每一個x，數(shù)集B中都有唯一確定的y與它對應(yīng)。這里的關(guān)鍵詞是每一個，唯一確定，集合A，B及對應(yīng)關(guān)系是一個整體，是兩個集合的元素間的一種對應(yīng)關(guān)系。

4.用概念作判斷，形成判斷的基本規(guī)范：認(rèn)識函數(shù)y=x2的定義域，值域，對應(yīng)關(guān)系。讓學(xué)生說出函數(shù)y=x3指的對應(yīng)關(guān)系是什么？能用一個具體背景說明這一對應(yīng)關(guān)系嗎？

二、為了加強對函數(shù)概念的理解與鞏固，對定義內(nèi)涵的闡明

1.函數(shù)中x，y的對應(yīng)變化關(guān)系：可以通過具體實例讓學(xué)生體會變量間的對應(yīng)關(guān)系，使所有的函數(shù)都有解析式，由此加深對函數(shù)“對應(yīng)法則”的認(rèn)識。

2.函數(shù)的實質(zhì)：每一個x值，對應(yīng)唯一的y值，可列舉具體函數(shù)講解：y=x2，y=2x，y=2都是函數(shù)，但x，y的對應(yīng)關(guān)系不同，分別是二對一，一對一，多對一，加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，再通過幾何畫板畫出圖象來顯示，并非隨便一個圖象都是函數(shù)圖象，讓學(xué)生加強對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，讓學(xué)生充分體會函數(shù)圖象上反映的函數(shù)的本質(zhì)。給學(xué)生一個深刻、直觀的認(rèn)識。

3.定義域，值域，對應(yīng)法則構(gòu)成函數(shù)的三要素：三者缺一不可，特別要強調(diào)定義域的重要性，讓學(xué)生比較函數(shù)y=2x，y=2x∈［-1，2］，y=2x（x∈N）是否是相同函數(shù)，分別求函數(shù)的值域，結(jié)合圖象分析，強調(diào)解析式相同但定義域不同的函數(shù)不是相同函數(shù)。

三、運用函數(shù)概念進(jìn)行判斷常會出現(xiàn)的錯誤

概念的運用是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，它需要通過運用、溝通概念之間的各種聯(lián)系，不斷激活概念網(wǎng)絡(luò)，使之不斷擴展、修正、完善、發(fā)展，達(dá)到對概念的真正理解。學(xué)生運用函數(shù)概念進(jìn)行判斷時，經(jīng)常會出現(xiàn)以下錯誤：

1.特殊代替本質(zhì)。學(xué)生對解析式形式的函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的認(rèn)識比較深刻，但對于抽象函數(shù)的認(rèn)識往往是薄弱的甚至是空白的。比如：已知x，y∈（-2，2），都有f（x）+f（y）=f（x+y），試判斷函數(shù)的奇偶性，很多學(xué)生認(rèn)為若函數(shù)f（x）滿足f（x）=0，則函數(shù)為奇函數(shù)，還有學(xué)生認(rèn)為在定義域內(nèi)求特殊值使得f（x0）=-f（x0），則可判斷函數(shù)的奇偶性，學(xué)生對函數(shù)奇偶性的理解還停留在具體的特征階段，未上升到抽象本質(zhì)概括階段。

2.對概念外延把握不當(dāng)，缺乏整體認(rèn)識。比如在函數(shù)奇偶性的學(xué)習(xí)中，學(xué)生基本都會用f（x）與f（-x）的關(guān)系來判斷，卻常常忘記了函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，例如在判斷函數(shù)f（x）=■+■的奇偶性時忽略了定義域的判斷。

3.定義名稱符號之間的本質(zhì)聯(lián)系不能準(zhǔn)確把握。學(xué)生不知道概念名稱所代表的實質(zhì)內(nèi)容和概念的形成過程，往往只是與某些具體的表征形式相聯(lián)系，而不是概念本身，最典型的是學(xué)生對分段函數(shù)概念的理解，多數(shù)學(xué)生在初學(xué)階段分不清分段函數(shù)是一個函數(shù)，還是幾個函數(shù)，定義域是各段的并集還是交集，學(xué)生對分段函數(shù)定義的理解和運用確實是一個難點。

4.缺乏概念間的聯(lián)系。學(xué)生缺乏已有概念間的聯(lián)系，在建立有關(guān)新舊概念間的聯(lián)系時，缺乏對新概念的理解。如高一中有這樣一道題：在實數(shù)的原有運算中，定義新運算“？茌”如下：當(dāng)a≥b時，a？茌b=a；當(dāng)a＜b時，a？茌b=b2，則函數(shù)f（x）=（1？茌x）x-（2？茌x），x∈［-2，

2］，最大值為_____。難以在舊概念基礎(chǔ)上建立新概念的理解。

在新教育理念的指引下，從理論高度審視了我們的教學(xué)，此

次教學(xué)充分體現(xiàn)了以學(xué)生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教；教學(xué)中不是重結(jié)論，而是重過程和方法；教學(xué)中更多的是采用探究、交流，現(xiàn)代多媒體直觀演示的方式；這樣的設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)了個性化學(xué)習(xí)，更好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)。教師在教學(xué)中以先進(jìn)的教學(xué)理念為指引不斷探索新思路，不斷改革創(chuàng)新，用教師的啟迪和激勵，換來學(xué)生源源不斷的思維活水。教育需要理性的頓悟，靈性的升發(fā)。通過我們對教學(xué)不斷地反思與探索，使我們的教學(xué)水準(zhǔn)向更高的方向發(fā)展。

（作者單位 河北省滄州市第一中學(xué)）