淺談培養學生數學思維品質多樣性

思維是人腦對客觀現實的概括和間接的反映，反映的是事物的本質及內部的規律性。思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現。數學思維品質則反映了個體間數學思維發展水平的差異，是衡量數學思維的優劣，判斷數學能力高低的主要指標。它包括思維的廣闊性、嚴密性、靈活性、敏捷性、深刻性、批判性和創造性等品質。

函數作為高中數學的一根主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的概念，定義域，值域，解析式是函數的基礎，也是高考的熱點。其中，函數的定義域是函數存在的基礎，是進一步研究函數值域、奇偶性、單調性、周期性等性質的前提。然而在教學過程中我發現很多學生在解題時對定義域經常不加以注意，不是漏了考慮就是考慮錯誤，從而在解題過程中出現各種各樣的錯誤。所以我們在教學中一定要強調定義域對解題結論的作用與影響，這不僅能提高學生解題能力，更對提高學生的數學思維品質提供幫助。

一、 培養學生數學思維的廣闊性

思維的廣闊性又成為思維的發散性，它包括善于運用多方面知識和經驗，從多角度、多層次、全方位考慮問題的思維品質。

函數的定義域是指自變量的允許值范圍，函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例1：求函數y=x+的值域

法1：通常此類問題可用判別式求解：

原函數變形為：（y-x）2=（2-x） x2-2xy+y2-2+x=0

由關于x的二次方程：x2+（1-2y）·x+y2-2=0有解

△=（1-2y）2-4×1×（y2-2）≥0

解得：y≤即函數y的值域為（-∞， ]

法2：我們換個角度思考問題，換元法是數學中的一大通法，無處不在，考慮到根號的問題可以設t= （x≤2）

∴x=2-t2 （t≥0） （這里要注意到t的取值范圍）

于是：y=2-t2+t= -（ t- ）2+（t≥0）

顯然：當t= ∈[0、+∞]時，y有最大值

∴y∈（-∞， ]

從這個例題可以看出，數學教學中對學生思維廣闊性的培養，一般做法是以問題解決為核心，啟迪學生多層次觀察、多方位聯想、多角度探索、多途徑獲解。具體而言，逆向思維訓練、橫向思維訓練、以及一題多解和一題多變等作為培養思維廣闊性的重要手段，用一題多解培養學生思維的廣闊性。

二、培養學生數學思維的嚴密性

數學思維的嚴密性是指思考問題符合邏輯且嚴密、準確，數學運算準確無誤。

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例2：學校計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為200m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（100-x）米，由題意得：

S=x（100-x）

故函數關系式為：.S=x（100-x）

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于100的數時，S的值是負數或零，即矩形的面積為負數或零，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0

即：函數關系式為： S=x（100-x）（0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

三、培養學生數學思維的靈活性

思維的靈活性是指對所學的知識、方法的靈活運用。數學思維的靈活性，又稱思維的變通性，是指能根據客觀條件的變化及時地改變和調整固有的思維形式，擺脫思維定勢的影響，從多方面、多角度尋找解決問題的途徑。

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例3：求函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值.

解：∵y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4

∴ 當x-1時，ymin=-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。其實這個結論只是對二次函數y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區間上，它的最值應分如下情況：對稱軸 x=

⑴ 當-

⑵ 當->q時，y=f（x）在[p，q]上單調遞減函數； f（x）min=f（p），f（x）max=f（q）

⑶ 當p≤≤q時，f（x）min=f（p），f（x）max=f（q）上最值情況是：

f（x）min=f（-）=

f（x）min=max{f（p），f（q）}

即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

∵ -2<1<5

∴ 函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

學生產生這種錯誤的根源在于：老師在數學教學中，過分強調解題過程的模式化，就容易使學生形成思維定勢，學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。

四、培養學生數學思維的敏捷性

數學思維的敏捷性是指思維過程中的簡縮性和快速性，表現為思考問題時的敏銳快速反應、善于運用直覺思維、善于把問題轉換化、善于使用數學模式。

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

五、培養學生數學思維品質的深刻性

數學思維的深刻性，是指在分析問題、解決問題的過程中，能夠探求所研究問題的實質，以及問題之間的相互聯系。它主要體現在主體善于從復雜的現象中把握事物的本質及規律；善于探索事物間的聯系與差異；善于將已有事實變更、推廣為更深刻的結果等。

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

從上面的例題可以發現，在做題時很多學生沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，這說明學生對函數單調性的概念一知半解，因而在做練習或作業時，只是對題型套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

六、培養學生數學思維品質的批判性

思維的批判性是指思維嚴謹而不疏漏，能準確覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活。數學思維的批判性是指思維活動中，善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的品質。批判性思維是一種實事求是、周到、縝密的思維。

例6：求函數 的定義域。

解：要使函數有意義，則必須且只須滿足：

∴所求定義域為ф。

評點：根據中學數學課本中函數的定義，定義域要求為非空數集。因此，以上例題根本不構成一個函數。

一個不具科學性的題目，可能會使學生誤入歧途，不利于邏輯思維能力的形成和發展，但只要教師處理得當，及時評點，也能獲得良好的教學效果。使學生形成嚴謹的科學治學態度，而且有助于培養思維的批判性。

七、培養學生數學思維的創造性

思維的創造性是指利用學過的知識去發現已有知識之間的新關系。數學思維的創造性，是指思維的結果相對于已有的認識成果來說，具有獨創性和新穎性。教師可以通過培養學生對數學知識的綜合應用、靈活運用的能力來培養思維的創造性。

例7、設a，b，c∈且它們的絕對值都不大于1，求證Ab+bc+ca≥-1。

分析：本題直接證明無從下手，想到構造函數，從定義域入手，問題不攻自破。

證明：構造函數F（a）=ab+bc+ca+1=（b+c）a+bc+1，a∈[-1，1]， ∵b，c∈[-1，1]，故有F（-1）=-（b+c）+bc+1=（1-c）（1-b） ≥0，∴f（a）在定義域[-1，1]上恒為非負，即f（a） ≥0恒成立。∴ab+bc+ca≥-1。

本題求解，若不注意定義域的導向作用，很難下手，定義域為我們指點了解題迷津。

運用函數的定義域定向，思路清晰，方法巧妙。巧用函數的定義域，可以避免復雜的變形與討論，使問題簡捷獲解。

學生的各種思維品質是一個相輔相成，彼此滲透、互相促進、互為補充的整體。在教學過程中，教師應將它們有機地結合起來，有目的有計劃地強化思維訓練，培養學生良好的數學思維品質。只有這樣，我們才能在真正意義上適應素質教育對數學教學的要求，使學生的思維品質在數學學習中得到充分的培養。

蘇霍姆林斯基說，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是發現者、研究者、探索者，而在學生的精神世界中這種需要特別強烈。我們的教學過程如果能夠拉長學生思維爬坡的過程，使得思維在更加復雜的情境中得到細膩的省察、從容的舒展、腳踏實地的進步，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈，才是真正培養了學生的思維能力，進而能夠不斷提高學生思維能力，最終達到培養學生思維的創造性和探索性的目的。