數(shù)形結(jié)合比較中溝通聯(lián)系

用分?jǐn)?shù)乘、除法解決問題一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。許多教師在教學(xué)時，大多是通過讓學(xué)生根據(jù)關(guān)鍵句，寫出數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式列出算式。不少學(xué)生能正確列出算式，但未必能道出其中的原因，對于為什么要找單位“1”、關(guān)鍵句中隱含了哪些條件等問題都缺少知識之間的溝通，必然導(dǎo)致對問題理解的不深刻。如何溝通才能凸顯其中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，以達(dá)到對用分?jǐn)?shù)乘除法解決問題的深刻理解。徐利治先生說：“數(shù)學(xué)直覺既是抽象思維的起點(diǎn)，又是抽象思維的歸宿。通過抽象性思維，對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)有所洞察，有所概括，這樣就形成了更高層次的直覺，從而又可進(jìn)行更高層次的創(chuàng)造性思維活動。”畫圖是一個“去情境化”的過程，利用直觀表達(dá)的圖進(jìn)行比較，抽去了情境，利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于學(xué)生進(jìn)行比較、交流與反思，從而促進(jìn)對知識的深度理解，知識之間因此結(jié)合得更緊密，解決問題的能力就會大大提高，使學(xué)生達(dá)到完全融會貫通的地步。基于以上認(rèn)識，在復(fù)習(xí)時可通過線段圖，讓學(xué)生在比較、交流中溝通不同方法、不同數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系。

教學(xué)片段：

一、復(fù)習(xí)用分?jǐn)?shù)乘法解決的問題

1.出示圖1。

師：從圖中你知道什么條件？要求什么問題？

師：你能根據(jù)圖中的條件和問題把它還原成一道文字表達(dá)的問題嗎？

生：求60的是多少？

生：把60平均分成3份，求兩份是多少？

師：怎么計算？

生：60×或60÷3×2

師：兩種算法有什么聯(lián)系？

生：計算60×?xí)r，把60和3約分就是60除以3。

[設(shè)計意圖：一是復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義，二是學(xué)生可通過圖示，回憶三年級學(xué)過的“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，溝通分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)除法之間的聯(lián)系，對分?jǐn)?shù)的理解就更廣了。]

2.出示圖2。

師：這幅圖由兩條線段構(gòu)成，知道為什么要畫兩條線段嗎？能不能說說圖示表達(dá)了什么意思？

學(xué)生列式計算：60×=40（人）

3.溝通與整數(shù)中“求一個數(shù)的幾倍是多少問題”的聯(lián)系。

師：其實(shí)，它跟我們以前學(xué)過的一種問題有聯(lián)系，你們還記得嗎？

生：是“求一個數(shù)的幾倍是多少”的問題。（動態(tài)變成圖3）

師：它們都有哪些聯(lián)系呢？

生1：都用乘法計算

生2：這里的3倍可以用來表示。

生3：都是同一個已知的數(shù)比，結(jié)果是整數(shù)就用倍來表示，不到1倍時就用分?jǐn)?shù)幾分之幾來表示，所以求一個數(shù)的幾倍或幾分之幾都用乘法。

師：這個已知的數(shù)在分?jǐn)?shù)中我們叫單位“1”，在幾倍問題中稱為一倍數(shù)，實(shí)際上它們都表示一個比較的標(biāo)準(zhǔn)。

[設(shè)計意圖：與“求一個數(shù)的幾倍是多少”比較，能促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法意義的理解。通過直觀圖形的比較，使學(xué)生對“求一個數(shù)的幾分之幾可以用乘法計算”的理解有了一個生長點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了與已有知識之間的無縫對接。]

4.比較。（同時出示圖1和圖2。）

師：比一比第1題與第2題有什么相同之處？

生：單位“1”都是已知的。

生：都是求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法。

師：又有什么不同的地方？

生：第1題中的分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系，第2題中的分?jǐn)?shù)表示的是兩個量之間的關(guān)系。

生：第1題是已知整體求部分，第2題是已知標(biāo)準(zhǔn)求另一個量。

5.稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問題。

出示圖4、圖5。

師：分別說說從圖中你知道了哪些信息？可以怎樣列式？

學(xué)生列出算式（第4題）：①60-60×；②60×（1-）；③60÷3×1。

第5題算式略。

師：第①、②兩種方法有什么區(qū)別與聯(lián)系？

生：第一種方法是先求用去的，再用總數(shù)減用去的得到剩下的；第2種方法是先求出剩下的分率，再用單位“1”乘剩下的分率得到剩下的。

生：都要用單位“1”乘分率得到一個量。

6.比較。同時出示圖1、圖2、圖4、圖5。

師：這四道題有什么相同點(diǎn)？

生：單位“1”都是已知的，單位“1”乘分率等于所求問題。

師：為什么第1題和第4題乘的分率不同？

生：因?yàn)樗髥栴}不同。所求問題不同，乘的分率也不同。

師：也就是問題跟分率要一致，在數(shù)學(xué)中我們稱之為對應(yīng)。

二、復(fù)習(xí)用分?jǐn)?shù)除法解決的問題

1.出示圖6。

師：從圖中你能知道哪些條件？

生：全長平均分成了4份，這樣的3份是120米，求全長是多少？

生：把全長看成是單位“1”，全長的是120米，求全長是多少？

師：怎樣列式？

生：120÷3×4。

師：也可以先除后乘。跟前面的一樣嗎？

生：這是通過部分先求一份，再求單位“1”的總份數(shù)，而分?jǐn)?shù)乘法問題中是先把單位“1”平均分，再數(shù)其中的部分有這樣的幾份。

生：全長×=120米，所以全長=120÷。

生：這兩種算法還是有聯(lián)系的，120÷=120×=120÷3×4。

出示圖7，教學(xué)過程同上。

2.出示圖8、圖9。

師：說一說這兩幅圖分別表示什么意思？能根據(jù)圖中給出的條件和問題列出算式嗎？

3.比較。同時出示圖6、圖7、圖8、圖9。

師：這四道題有什么相同的地方？

生：都是求單位“1”。

生：用的都是除法，都是用具體數(shù)量除以分率。

師指第6、8兩題，為什么所除的分率不同？

生：因?yàn)榫唧w數(shù)量不同。

生：分率要跟具體數(shù)量相對應(yīng)。

三、分?jǐn)?shù)乘除法問題的比較

同時出示圖1、圖2、圖6、圖7。

師：看圖比較，你能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生：第1、2題是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法；第6、7兩題是相反的，已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”，用除法。

生：都可以先除后乘，先求一份是多少，再求幾份或總數(shù)。

……

教學(xué)反思：

一、在比較中溝通聯(lián)系

本課教學(xué)，通過比較溝通了分?jǐn)?shù)乘、除法問題之間的聯(lián)系；復(fù)雜問題與簡單問題之間的聯(lián)系。這里并沒有讓學(xué)生簡單地比較得出解決分?jǐn)?shù)問題的一種套路，即單位“1”已知，用乘法，乘所求問題對應(yīng)的分率；單位“1”未知，用除法或方程……如果學(xué)生在解決問題后就此終止，不對解決問題的過程進(jìn)行回顧和反思，不對各種方法進(jìn)行評價，那么數(shù)學(xué)活動就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上，事倍功半。教學(xué)中，把重點(diǎn)放在通過線段圖的直觀，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流與反思，在原有知識中溝通了學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義不同維度之間的聯(lián)系，獲得對分?jǐn)?shù)問題的真正理解。

二、在直觀中感悟數(shù)學(xué)思想方法

以往教學(xué)分?jǐn)?shù)乘、除法問題時也重視比較，即先通過文字表達(dá)的題組解決問題，最后比較異同，再歸結(jié)出分?jǐn)?shù)乘、除法問題的解決思路，學(xué)生易形成分?jǐn)?shù)問題的解題套路，它是一種以提高解題正確率為目的的比較。學(xué)生在掌握了套路后，往往不仔細(xì)地閱讀和理解題意就進(jìn)行列式。而通過直觀的線段圖進(jìn)行比較，抽去了情境，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于學(xué)生進(jìn)行比較、交流與反思，從而促進(jìn)對知識的深度理解，有利于學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)乘、除法問題中的量率對應(yīng)思想。對于量率對應(yīng)，雖然不要求對學(xué)生明確提出，但是學(xué)生自己在解決問題、交流的過程中有很好地感悟，這對分?jǐn)?shù)意義的理解很有幫助。

作者單位

江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué)

◇責(zé)任編輯：谷曉華◇