高中數學中向量知識的幾個誤區探討

[摘 要]本文考慮高中學生的學習特點，對高中數學中向量知識的幾個學習誤區包括結合律和消去率在數量積運算中的應用、實數零和零向量的關系、向量坐標與點的區別、平面幾何性質和向量性質的區別、向量垂直和平行的充要條件、向量夾角的意義、點平移與向量平移的區別等進行探討，以期提高向量學習效果。

[關鍵詞]向量平行 向量垂直 向量平移

引言：向量相關知識一直以來都是高中數學的重點內容之一，也是每年高考的必考內容。近年來向量部分在各省高考數學試題中，主要側重于對向量概念及性質，向量的基礎運算如空間圖形和平面圖形中的向量應用等進行考查。但同學們由于未能正確理解向量基礎知識，導致在解題和學習過程中容易出現各種各樣不易察覺的錯誤，進而使解題思路進入各種誤區，造成極大混亂。本文對向量學習中必須加以注意的事項進行列舉，以期能幫助高中同學更好地理解向量。

一、 零向量與實數零的區別及有關運算

向量■代表零向量，它的方向只有一個，且是任意的，大小為0。零向量平行于任意向量。而0只是一個實數，并沒有方向的概念。零向量在向量運算中經常出現，也是最容易出導致計算錯誤的知識點，這主要還是因為同學們在學習過程中未能加速對零向量的理解所致。例如，對于兩個向量的乘機■·■=0，直接推導出■或■=0是最典型的錯誤。這是因為在實數運算中，兩個數相乘結果為零，那么表示兩個實數至少有一個為零是正確的，但在向量的數量積運算中除了表示兩個向量至少有一個為零向量外，還存在另一種可能性，那就是兩個向量如果方向垂直的話，其乘積也為零。

二、 向量積運算

向量積運算容易出現的錯誤是簡單地套用實數積運算中的消去率和結合律。例如，由■·■=■·■，■≠0直接推出■=■。很明顯這是錯誤的。會出現這種錯誤，原因在于個別同學未能真正理解向量的定義。

另一個在向量的數量積運算中容易出現的誤區就是錯誤運用結合律。在實數運算中，（a·b）·c=a·（b·c）很明顯是成立的，但兩兩相乘的向量積運算如（■·■）·■=■·（■·■）則是錯誤的。原因就在于，兩個向量相乘如（■·■）或（■·■）的結果是實數，而三個向量相乘如（■·■）·■或■·（■·■）則是向量，兩個向量相等的條件是兩者的大小相等，方向一樣（即共線）。

三、向量坐標與點坐標

向量的坐標是將所表示向量的字母用等號與坐標相連接，而點坐標是直接在所表示點的字母后面直接寫。例如，某題給出三角形三個頂點的坐標分別是A（-3，5），B（-5，2），C（1，-2），要求對三角形的形狀進行判斷。錯誤解法是將點的坐標與向量坐標搞混，導致出現概念性錯誤：因為-3×1+5×（-2）=-13<0，所以三角形ABC為鈍角三角形。正確解法應該是先對向量■、■的坐標進行計算■=（-5，2）-（-3，5）=（-2，-3），■=（-5，2）-（-1，2）=（-6，4），所以■·■=（-2，-3）·（-6，4）=0，因此AB垂直于CB，故三角形ABC為直角三角形。

此外，在向量坐標和點坐標知識點的學習過程中還應該注意區分點平移和向量平移。平移公式并不適合向量平移的規律，它揭示的是沿著向量方向平移點坐標之后，前后坐標之間的變化關系；而向量平移并不會改變自身大小，其大小和方向依然與原向量相等。因此，我們在運用平移公式時必須對平移前后的坐標加以認真區分。

四、向量平面性質及幾何性質

向量具有方向性，因此兩個向量不能直接比較大小；規定任意向量都與零向量平行；單位向量有無數個，是指長度為1的向量；兩個向量平行也稱兩個向量共線，平行公理在對于向量平行情況并不適用。例如，某題要求找出以下四個命題中的假命題，分別是1.假設平面上所有單位向量都擁有共同的起點，那么將這些向量的終點連接起來構成的圖形是一個圓；2.如果向量■平行于向量■，向量■平行于向量■，那么向量■平行于向量■；3.如果向量■大小為7，向量■大小為8，那么向量■小于向量■；4.如果兩個向量■、■共線，那么可用一條直線將A、B、C、D四點連接起來。根據平面向量的有關性質，向量不只有大小還有方向，很明顯第三個命題錯誤。

五、結論

綜上所述，高中數學相對于初中數學來講深化了許多概念，在很多知識點的運用上更為強調對其使用條件和性質的深入了解。高中學生在每一章節的教學習中，只有對每一個概念都進行深刻理解，并注意抓住它們與其它知識點之間的聯系，舉一反三，注重區分和對比，才能避免陷入不必要的學習誤區，從而提高學習效率和學習質量。

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作者簡介：羅琛（1995年4月），男，籍貫：湖北麻城；現就讀于華中師范大學第一附屬中學高三18班.