“信號與系統”中的二階線性電路分析方法

【摘要】“信號與系統”課程中的線性系統分析方法可以應用于分析各類實際系統，例如二階線性電路等。從時域、頻域、復頻域和狀態變量四個角度，總結了二階線性電路分析方法。為說明四種方法的應用，以電路實例為基礎，給出詳細的分析步驟。

【關鍵詞】二階線性電路 時域方法 頻域方法 復頻域分析方法 狀態變量分析方法

【基金項目】本文系“2009年度上海市精品課程”建設項目研究成果。

【中圖分類號】TM13【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）11-0227-02

一、引言

二階線性電路是典型的二階線性系統，可以構成二階的濾波網絡或者選頻網絡，是“信號與系統”課程的一個重要知識點，也是電路分析課程及其后續課程的重要內容之一。

國內外的“信號與系統”教材中，一般會選擇二階線性電路作為系統時域、頻域、復頻域和狀態變量分析方法的實例[1-5]，具體地包括求解該類系統的沖激響應、零輸入響應、零狀態響應和全響應等。本文旨在對各類方法進行總結，針對二階電路實例，運用四種不同方法，給出詳細的解決步驟。

二、二階線性電路的分析方法

二階線性電路中的常用電路器件包括電容器和電感器，在無沖激電流或沖激電壓作用于它們時，有：uc（0+）=uc（0-）和iL（0+）=iL（0-）、以及其伏安關系特性：uc'（0+）=■ic（0+）和iL'（0+）=■uL'（0+），結合電路結構可分析系統特性。

1．時域分析方法

針對二階線性電路特點，一般地，按照如下步驟從時域分析系統：

·首先利用各器件的伏安關系、各電路定律等確定描述系統的微分方程；

·利用電路知識，確定系統響應信號的兩個初始條件r（0+），r'（0+）；

·利用時域方法分析系統，包括求解系統沖激響應、零狀態響應、零輸入響應和全響應等，可以選擇時域經典方法或規范化方法（詳細見文獻[5]）；

2．頻域分析方法

從頻域分析二階電路，有兩種思路：

方法1：

·確定描述系統的微分方程；

·利用電路知識，確定系統響應的兩個初始條件：r（0-），r'（0-）；

·對微分方程兩邊做傅里葉變換，應用文獻[5]中所述傅里葉變換的因果時域微分性質，求解系統的零輸入響應，進而求解系統的零狀態響應、全響應和沖激響應等；

方法2：

·利用各電路器件在頻域中的伏安關系建立系統頻域的電路；

·求解系統頻率響應；

·求解系統沖激響應、零狀態響應；

·對0時刻前后系統結構不改變的二階線性電路，直接由頻率響應得到系統微分方程，然后再利用方法1中思路求解系統的零輸入響應，進而得到全響應。

3．復頻域分析方法

在復頻域中分析二階線性電路，其思路與頻域方法類似，具體的有：

方法1：

·確定描述系統的微分方程；

·利用電路知識，確定系統響應的兩個初始條件：r（0-），r'（0-）；

·對微分方程兩邊做拉普拉斯變換，求解系統的沖激響應、零輸入響應、零狀態響應、全響應等；

方法2：

·利用電路知識，確定二階線性電路系統中電容器和電感器的初始儲能：iL（0-），uc（0-），進而判斷系統響應的兩個初始條件r（0-），r'（0-）；

·利用各電路器件在復頻域中的伏安關系建立系統復頻域的電路；

·求解系統函數、零輸入響應、零狀態響應和全響應的復頻域表達式；

將上述各式做拉普拉斯逆變換，得到各響應的時域形式。

方法3：

同頻域方法中方法2：

·利用各電路器件在復頻域中的伏安關系建立系統復頻域的電路；

·求解系統函數；

·對0時刻前后結構不變的線性二階電路系統，由系統函數得到系統的微分方程；

脫離電路分析的思路，直接在復頻域求解系統各響應。

4．狀態變量分析方法

一般的，在二階線性電路中選擇獨立器件的電流和電壓，或者磁鏈和電荷作為狀態變量。其具體的分析步驟如下：

·根據電路結構，列寫狀態變量方程和輸出方程，并確定狀態變量的初始條件；

·求解狀態轉移矩陣；

·利用時域或者頻域方法求解系統各類響應。

狀態變量方法的優勢是可同時求解多個物理量，包括非系統響應的其他物理量均可求解。

三、舉例

實際中有兩類二階線性電路系統，若電路在0時刻前后僅激勵信號改變，而系統本身并不改變，則可根據上述總結的各類方法直接求解。但還有一類二階線性電路，在0時刻前后的電路結構會發生改變，稱為分段線性時不變二階電路，下面給出該類情況的一個例題，以說明上述方法如何應用。