平方差公式的教與學

【摘要】平方差公式在七—九年級階段的教學中具有重要的地位，根據新課程理念，結合平方差公式的特殊結構特征以及推出公式的過程來談談課堂中的教與學。

【關鍵詞】平方差公式 特殊一般 面積

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）11-0156-01

新課程要求在數學新課的傳授時，應該在教材基礎上對教法有新的突破。只有通過一些靈活多樣的形式體現，就可以使學生迅速進入學習意境，使教與學能夠有機結合，達到事半功倍的效果，現結合平方差公式的教與學作一些探索性的分析研究，僅供大家參考。

本節教學的重點是掌握公式的結構特征及正確運用公式。難點是公式推導的理解及字母的廣泛含義。平時的平方差公式的教學往往是簡單的引入，重點放在練習上，這有違教材的初衷。教材的重點推導是為了培養學生觀察、猜想、總結的能力，可以從已經學習的多項式乘法入手，做相應的題目，從中總結推導出平方差公式。而對于平方差公式的應用，是為了使學生熟練、準確地應用這個公式，可以選取有代表性的題目，進行相應的練習，當然，在練習的過程中，為了調動學生的積極性，可以比賽的形式進行練習。對于平方差公式幾何背景的了解，是為了培養學生的動手能力和實踐能力，可以采用親手剪拼圖形的方法。

一、引入推導

引入：過程在教學中首先采用比賽速算的方法：看誰先計算出結果：9998×10002，通過比賽來提高學生學習的興趣，激發學生的學習熱情，增強獲得新知識的欲望。

（一）觀察與思考1： 左 右

（2+1）（2-1） 22-1

（3+2）（3-2） 32-22

（-2+1）（-2-1） （-2）2-1

看看上面每行的左右兩列的結果大小關系，你能得出怎樣的規律？（提示：把括號內的數用字母表示） 如何證明你的結論？（提示：用多項式的乘法。）

觀察與思考2： 左 右

（a+b）（a-b） a2-b2

（3x＋2 ）（ 3x－2 ） （3x）2-22

看看上面每行的左右兩列的結果大小關系，你能得出怎樣的規律？如何驗證。請同學寫出來，由學生得出結論平方差的公式。

逐漸由特殊到一般，找到規律。這一公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差。

3.計算下列各題，看誰做得又快又準？

（1）（a+b）（a-b） （2）（x+y）（x-y）

（3）（x＋4）（x－4） （4）（1＋2a）（1－2a）

（5）（m＋6n）（m－6n） （6）（5y＋z）（5y－z）

（7）（2a+b）（2a-b） （8）（2m+3）（2m-3）

在這里抓住學生的好勝性，放手讓學生練，凸顯學生學習的主體地位，讓學生暴露學習這個公式時遇到的各種情況。通過練習。剖析公式，發現本質，強調公式的左右兩邊的特征，解決學生中的典型錯誤。在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果。比如：在運用公式的過程中，有時需要變形，例如（a+b+c）（a-b-c），變形為，兩個數就可以看清楚了。

強化訓練，突出本質。

4.指出下列計算中的錯誤：

（1） （1+2x）（1-2x）=1-2x2

（2） （2a2+b2）（2a2-b2）=2a4-b4

（3） （3m+2n）（3m-2n）=2m2-2n2

再次通過典型錯誤的突出公式的特征。由學生總結：

①什么是平方差公式？

②運用公式要注意什么？從下面兩個方面回答：

a.要符合公式特征才能運用平方差公式；

b.有些式子表面不能應用公式，但實質能應用公式，要注意變形。

二、幾何解釋

1.活動探究：將長為（a+b），寬為（a－b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關系（a>b>0）。

■

通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動，利用這些圖形面積的相等關系，進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性，滲透了數形結合的思想，讓學生體會到代數與幾何的內在聯系。引導學生學會從多角度、多方面來思考問題。對于任意的a、b，由學生運用多項式乘法計算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，驗證了其公式的正確性。使學生看到數學中的公式反映了實際問題中的客觀關系，是看得見摸得著的，糾正 “數學只是一些枯燥的公式、規定，沒有什么實際的意義”這樣的偏見，初步感受數形結合的例子。再讓學生觀察課本P79頁的圖形自行給出過程，同學之間交流。

2.學生練習：某住宅小區的花園，起初被設計為邊長為 米的正方形，后因道路的原因，設計修改為：北邊往南平移2.5米，而東邊往東平移2.5米. 試問修改后的花園面積和原先設計的花園面積相差多少？

解：如圖（1），原花園的面積S=a2.

■

（1） （2）

修改后的花園如圖（2）所示，其面積S后=（a+2.5）×（a-2.5）=a2-2.52

所以， S-S后（m）=a2-（a2-2.52）=2.52=6.252

答：修改后的花園面積比修改前少了6.25平方米。

通過此例讓學生感受數學是生活中無處不在的，只要我們有心，便能在生活實踐中發現數學，使用數學，使數學成為我們解決的實際問題的工具，而不是單純的、枯燥的。平方差公式這一內容屬于數學再創造活動的結果，它在整式乘法，因式分解，分式運算及其它代數式的變形中起著十分重要的作用，因此，它是構建學生有價值的數學知識體系并形成相應數學技能的重要內容，它是讓學生感悟換元思想，由一般到特殊的思想，初步體會數學歸納法、數形結合的方法，感受數學的再創造性的好教材。在教學中應突出教的主導與學的主體的和諧統一達到事半功倍的效果。